Із формули =видно, що виміри питомої електропровідності дозволяють обчислити добуток концентрації носіїв заряду на їх рухливість. Окремо обчислити обидва параметри матеріалу, вимірявши тільки електропровідність, не можна. Для розв’язання цієї задачі треба використати дані ефекту Холла. Якщо провідник, по якому протікає електричний струм, помістити в магнітне поле, то це призведе до виникнення ряду електричних ефектів, які носять назву гальваномагнітних.

Одним з найбільш відомих гальваномагнітних ефектів є ефект Холла, відкритий американським фізиком Холом, в 1879 році. Розглянемо найпростішу теорію ефекту Холла.

Нехай по провіднику або напівпровіднику, що має форму прямокутного паралелепіпеда, протікає струм I0 (рис. 1). Тоді за відсутності магнітного поля еквіпотенціальними поверхнями будуть поверхні, перпендикулярні напрямку протікання струму. Різниця потенціалів між двома точками А і О, які лежать на одній еквіпотенційної поверхні, буде рівна нулю. Якщо ж досліджуваний зразок помістити в магнітне поле, вектор індукції якого перпендикулярний напрямку струму і до бічних граней зразка, то між точками А і О виникає поперечна різниця потенціалів, яка дорівнює холівській ЕРС. Причиною цього явища, що отримало назву ефекту Холла, є сила Лоренца, що діє на електричний заряд, який рухається в магнітному полі. Математичний вираз для сили Лоренца має вигляд:

                                                                  ,                               (1)

де e – заряд електрона, u - швидкість зарядженої частинки.

Для випадку, зображеному на рис. 1 а, де носіями струму є електрони, сила Лоренца, що діє на них, спрямована перпендикулярно до напрямку руху електронів та індукції магнітного поля. Під дією цієї сили електрони будуть зміщуватися від нижньої грані зразка до верхньої, за рахунок чого на цій грані виникне надлишок негативних зарядів, а на протилежній грані - надлишок позитивних зарядів. У результаті такого перерозподілу вздовж перерізу зразка виникає поперечне електричне поле напруженістю Ех.

Рис

Рис. 1. Досліджуваний зразок

 

Слід відмітити, що зміщення зарядів і, відповідно, наростання холівської ЕРС при даному струмі та індукції магнітного поля триватимуть до тих пір, поки середня сила Лоренца не зрівноважиться з силою поперечного холівського електричного поля FХ, яка діє на носії заряду в напрямку протилежному силі Лоренца (рис. 2 а). Якщо носіями заряду є дірки (їх заряд дорівнює заряду електрона, але протилежний за знаком), то при тім же силі струму I та тієї же індукції магнітного поля поперечне електричне поле змінить свій напрямок на протилежний (рис. 2 б).

Рис 2

Рис. 2. Виникнення напруги Холла для випадку, коли носіями струму є:

а – негативно заряджені частинки, б – позитивно заряджені частинки.

 

Отримаємо залежність холівської ЕРС від сили струму та індукції магнітного поля. Якщо вважати, що виникло однорідне поперечне поле, то в стані рівноваги матимемо:

                                      ,                                (2)

де Ех – напруженість холівського електричного поля. Тут ми вважаємо, що всі електрони мають однакову швидкість дрейфового руху u, яка перпендикулярна до індукції магнітного . Тоді .

         Вираз для густини струму j має вигляд:           

,                                   (3)

де n – концентрація електронів.

Підставляючи вираз (3) в (2), отримаємо:

                                      .

За означенням  густина стуму j пов’язана із силою струму I співвідношенням:

,                                              (4)

 

де d·b – площа поперечного перерізу зразка. Тоді

                            ,                                     (5)

 

Холівська різниця потенціалів між точками А і О рівна (рис. 1): 

.                                                    (6)

Підставляючи (5) в (6), отримаємо:        

,                             (7)

 

Слід зазначити, що використовувана тут модель є досить спрощеною, оскільки не враховується статистичний розподіл носіїв струму за швидкостями. У реальній ситуації носії струму мають різні швидкості і сила Лоренца, що діє на різні електрони різна. Ті електрони, швидкості яких менші деякої швидкості u, яка отримується з виразу (2):

                                      ,                                    (8)

 

переміщаються під дією електричного поля до нижньої грані зразка. А електрони, швидкості яких більші u, переміщаються до верхньої грані. У стані рівноваги ці потоки рівні. Отже, рівновага має динамічний характер. Розрахунок, який враховує статистичний розподіл носіїв струму за швидкостями, призводить до виразу:

                            ,                                      (9)

 

Взагалі кажучи, коефіцієнт k залежить від умов, при яких відбуваються вимірювання. Наближено його можна вважати для різних умов експерименту близьким до 1. Тоді

                   ,                                                (10)

 

де Rx – стала Холла.

Як ми вже відзначали вище, знак холівських ЕРС залежить від типу носіїв струму. Для провідника з електронною провідністю Rx<0, а з дірковою Rx>0. Таким чином, знак постійної Холла дозволяє встановити тип носіїв струму.

Якщо провідник має змішану провідність (електронну та діркову), то постійну Холла можна розрахувати за формулою:

                            ,                         (11)

 

где    р – концентрація дірок, n – концентрація електронів, концентрация электронов, Up та Un – рухливості та електронів відповідно.

Для невироджених напівпровідників треба враховувати той факт, що носії заряду розподілені по швидкостях згідно закону Максвелла. Тому більш строгі міркування, які враховують цю обставину, приводять до таких виразів сталої Холла:

 або                 (12)

 

де  – стала, яка називається холл-фактором, і залежить від механізму розсіяння. При розсіянні носіїв заряду на іонах домішки =1,93, на теплових коливаннях в атомній решітці   на нейтральних домішках = 1. Оскільки , то

 

, де

 - холлівська рухливість,  - питома електропровідність. В загальному випадку

 

         Для напівпровідників, в яких концентрація носіїв струму мала, постійна Холла велика за абсолютною величиною. Це дає можливість широкого використання ефекту Холла в напівпровідниках для вимірювання магнітної індукції та створення відповідно датчиків Холла.

Експлуатаційні властивості напівпровідникових пристроїв на основі гальваномагнітних явищ істотно залежать як від властивостей і особливостей напівпровідникового матеріалу, так і від технології виготовлення їх робочих елементів. Ефект Холла дозволяє визначити концентрацію та рухливість носіїв заряду, а в деяких випадках - тип носіїв заряду (електрони або дірки) в металі або напівпровіднику, що робить його досить ефективним методом дослідження властивостей напівпровідників. На основі ефекту Холла працюють датчики Холла - прилади, що вимірюють напруженість (індукцію) магнітного поля і також використовуються в якості магнітних перетворювачів при вимірюванні струмів складної форми, у тому числі таких, що мають постійну складову. Для виготовлення датчиків Холла використовуються такі матеріали, як Si; Ge; HgTe; HgSe; GaAs; InSb; InAs та інші. До основних характеристик датчиків Холла можна віднести такі: 1) чутливість, яка чисельно рівна ЕРС Холла в магнітному полі з індукцією в 1 Тл; 2) рівень шуму і порогова чутливість, тобто мінімальне значення магнітної індукції, яке може відчути датчик; 3) робочий інтервал температур; 4) температурний коефіцієнт чутливості; 5) розміри датчика; 6) максимальна потужність розсіяння; 7) максимальний робочий струм; 8) вхідний та вихідний опір. 

В таблиці 1. представленні мінімальні значення концентрації носіїв заряду та максимальне значення рухливості при 20 0С, питомого опору та порогової чутливості для матеріалів, які зазвичай, застосовуються для виготовлення датчиків Холла.

 

Матеріал

датчика

n, м-3

µmax, м2/В·с

ρ, Ом·м

γ, В/ Тл

Впор, Тл

Si

7·1016

0,14

600

30

2,5·10-8

Ge

2·1019

0,36

0,5

6,7

1,3·10-8

InAs

2·1021

3

10-3

3,4

1,3·10-9

InSb

2·1022

7

4,5·10-5

1,6

5,6·10-10

HgTe

5·1024

1

2·10-5

0,1

-

HgSe

5·1023

0,5

6,7·10-6

0,4

-

Bi

1·1024

0,5

10-6

0,06

1,7·10-9

 

Застосовувані для виготовлення датчиків Холла напівпровідники (Si, , GаAs, InAs, InSb) отримують в промисловості у вигляді великих кристалів. Кристали розрізаються на тонкі пластинки, які перпендикулярні напрямку їх росту. У разі германію для різання застосовуються алмазні дискові пилки, що представляють собою латунний диск. Пластина, яка розрізана тим чи іншим способом, зазвичай виходить товщиною не менше ніж 0,2 - 0,3 мм. Остаточна обробка і доведення пластин до потрібних розмірів отримується шліфуванням на шліфувальних порошках різних номерів. Будь-яка груба обробка поверхні, така як різання, шліфування і механічне полірування, пошкоджує поверхневий шар зразка. Для усунення поверхневих дефектів проводиться завершальна операція - травлення.

Зараз розрізняють аналогові і цифрові датчики Холла. Цифрові датчики визначають наявність, або ж відсутність поля. Тобто, якщо індукція досягає деякого порога - датчик видає присутність поля у вигляді якоїсь логічної одиниці, якщо порогу не досягнуто - датчик видає логічний нуль. Тобто, при слабкій індукції і відповідно чутливості датчика - наявність поля може бути не зафіксована. Аналогові датчики Холла перетворять індукцію поля в напругу. Датчики Холла стали частиною багатьох приладів. В основному, звичайно ж, вони використовуються за прямим призначенням і вимірюють напруженість магнітного поля. Застосовуються в електродвигунах і навіть у таких інноваціях, як іонні двигуни ракет. Найчастіше з датчиком Холла доводиться стикатися при використанні системи запалювання автомобіля.