Короткі теоретичні відомості

Сукупність дев’яти величин

(1)

називається тензором оберненої ефективної маси електрона в кристалі. Його можна також подати у вигляді матриці:

Невироджений електронний газ описується класичною статистикою Максвелла – Больцмана. Концентрація для даного випадку буде рівна:

, (3)

де  – ефективна густина станів в зоні провідності, – хімічний потенціал або рівень Фермі, енергетичне положення дна зони провідності, ефективна маса густини станів для електронів провідності.

Аналогічно можна записати і вираз для концентрації дірок в невиродженому напівпровіднику:

, (4)

– ефективна густина станів у валентній зоні,

ефективна маса густини станів для дірок валентної зони.

У непрямозонних напівпровідниках до яких належать, наприклад, германій та кремній, дно зони провідності є складним і характеризується трьома компонентами тензора ефективної маси: . В цьому випадку під ефективною масою густини станів треба розуміти таку величину:

, (5)

де M – число еквівалентних мінімумів (долин).

Концентрацію носіїв заряду у власному напівпровіднику

, (6)

де ширина забороненої зони напівпровідника.

Положення рівня Фермі у власному напівпровіднику:

(7)

Питома електропровідність власного напівпровідника

, (8)

де , рухливість електронів і дірок відповідно.

Концентрація електронів для невиродженого напівпровідника n-типу провідності при температурах, коли донорні рівні не повністю іонізовані, рівна:

, (9)

де енергія іонізації донорного рівня, концентрація донорної домішки.

Залежність положення рівня Фермі від температури в даних умовах визначається співвідношенням:

(10)

Аналогічно можна записати вирази для положення рівня Фермі та концентрації дірок в напівпровіднику p-типу провідності, який містить акцепторні домішки:

, (11)

, (12)

де енергія іонізації акцепторного рівня, концентрація акцепторної домішки.

Для високих температурах, коли ще власна провідність слабо проявляється, а всі донори іонізовані

, (13)

а вираз для положення рівня Фермі

. (14)

Критична концентрація, наприклад, донорної домішки, при якій напівпровідник переходить у вироджений стан, без врахування залежності її енергія іонізації від самої концентрації, рівна:

, (15)

де

Концентрації електронів та рівень Фермі у виродженому напівпровіднику визначаються відповідно співвідношеннями:

, (16)

. (17)

Приклад 1. Ширина забороненої зони в кристалах германію складає 0,67 еВ. В скільки разів зміниться концентрація власних носіїв струму при збільшенні температури від 27 °С до 50 °С?

Розв’язання. Концентрацію носіїв заряду у власному напівпровіднику

. (1)

Тоді відношення концентрацій власних носіїв струму для різних значень температур, враховуючи (1), рівне:

Пиклад 2. Знайти положення рівня Фермі в кремнії при температурі 30 К, який легований домішкою фосфору концентрацією 10¹⁴ см^-3. За нульове значення енергії Фермі взяти дно зони провідності. Енергія іонізації домішки фосфору в кремнії складає 0,045 еВ.

Розв’язання. Фосфор – елемент 5 групи таблиці Мендєлєєва, тобто він є донорною домішкою, а кристал кремнію буде мати n- тип провідності.

Залежність положення рівня Фермі від температури для невиродженого напівпровідника n-типу провідності при температурах, коли донорні рівні не повністю іонізовані, визначається співвідношенням:

, (1)

де енергія іонізації донорного рівня, концентрація донорної домішки,

(2)

Оскільки в задачі за нульове значення енергії Фермі взяти дно зони провідності, то . Враховуючи значення енергії іонізації для домішки фосфору в кремнії, ефективну масу густини станів для зони провідності кристалів кремнію (), можна, згідно з (1) та (2), знайти положення рівня Фермі.

Приклад 3. Обчислити питомий опір слабо легованих кристалів InSb при температурі Т=320 К.

Розв’язання. Оскільки ширина забороненої зони кристалів InSb при температурі Т=320 К складає лише еВ, то для кристалу InSb його провідність буде власною.

Тоді

, (1)

. (2)

Враховуючи вирази (1) та (2), рухливості електронів та дірок, ефективні маси густини для електронів та дірок зони провідності та валентної зони кристалів InSb при заданій температурі, можна знайти питомий опір даних кристалів

. (3)

Тоді питомий опір кристалів InSb при температурі Т=320 К, згідно з (3),

.

Задачі

Задача 1. Залежність енергії електрона від його хвильового вектора в зоні провідності описується рівнянням

( - маса вільного електрона). Знайти компоненти тензора оберненої ефективної маси.

Задача 2. За даними ефекта Холла концентрація електронів при температурі T₁=400 K складала 1,3·10¹⁶ см^-3, а при T₂=350 K – 6,2·10¹⁵ см^-3. Знайти ширину забороненої зони напівпровідника.

Задача 3. Знайти температурний інтервал, для якого концентрація електронів стала і рівна концентрації донорної домішки. Оцінку провести для германія, який містить домішку сурми концентрацією 2·10¹⁵ см^-3. Енергія іонізації домішки сурми складає 9,6 меВ. Вважати, що ширина забороненої зони змінюється за лінійним законом .

Задача 4. Знайти концентрацію дірок в кремнії, легованого бором концентрацією 3·10¹⁴ см^-3 при температурі T=30 K. Енергія іонізації домішки бору в кремнії складає 45 меВ.

Задача 5. Оцінити критичну концентрацію домішки для кристалів InSb n-типу провідності. Енергію іонізації донорної домішки вважати рівною 0,1 меВ.

Задача 6. Питомий опір власного германію при кімнатній температурі Омۤۤ∙см, рухливість електронів складає 3800 см²/В∙с, а дірок – 1900 см²/В∙с. Знайти концентрацію власних носіїв струму. Яку необхідно ввести концентрацію донорної домішки, щоб питомий опір германію став Омۤۤ∙см?

Задача 7. Знайти концентрацію легуючої донорної домішки в некомпенсованих кристалах GaSb, якщо рівень Фермі знаходиться вище на 20 меВ від дна зони провідності.

Задача 8. Знайти енергію Фермі відносно дна зони провідності кристалів германію при T=20 K, які містять 10¹⁴ см^-3 атомів фосфору та 5∙10¹³ см^-3 атомів галію.