3.2. Аналітичне дослідження кінематики механізмів методом перетворення координат

Цей метод зручно використовувати під час дослідження просторових механізмів через значне спрощення форми запису рівнянь.

Розглянемо плоский незалежний кінематичний ланцюг механізму  маніпулятора, який складається з чотирьох ланок, кожна з однією обертовою парою V-го класу. Осі всіх кінематичних пар паралельні (рис. 3.6), тому число ступенів вільності за формулою Чебишева .

За три загальні координати приймаємо кути . Виконуючи кінематичний аналіз ці кути задаємо як функції часу. Зі схеми (рис. 3.6) відомі довжини ланок  (відстані між осями обертових пар) і координати  деякої точки  на ланці 3 в системі координат . необхідно знайти траєкторію точки  відносно стояка О (у системі координат ).

Розглянемо точки , які в даний момент збігаються з точкою , але належать відповідно ланкам 2, 1, 0 (стояк). На основі рівнянь перетворення плоских декартових координат при розміщенні їх так, як показано на рис. 3.6, одержуємо:

                       (3.28)

                       (3.29)

                             (3.30)

Рис.3.6

 

Розв’язок системи шести лінійних рівнянь з шістьма невідомими дає можливість знайти положення точки Е₃ у системі координат , тобто положення точки Е₀.

Для встановлення певних правил обчислення і скорочення запису використовую матричну форму запису рівнянь перетворення координат.

Коефіцієнти рівнянь (3.28)-(3.30), які відповідають повороту осей і переносу початку координат, дають матрицю порядку ():

і т.д.

Перейдемо до квадратних матриць, які можна множити. Додаємо до кожних двох рівнянь перетворення координат третє рівняння тотожності. Тоді коефіцієнти правих частин рівняння (3.28) з додаванням тотожності  утворять квадратну матрицю третього порядку:

Аналогічно коефіцієнти правих частин рівнянь (3.29) (3.30) з додаванням тотожності  дадуть матрицю:

Ліві частини рівнянь (3.28)-(3.30) з доданням тотожності  дають матриці-стовці третього порядку:

Аналогічно

Рівняння (3.28)-(3.30) з доданням тотожності  перетворимо у вигляд, що буде відповідати добутку квадратної матриці третього порядку та матриці-стовпця того самого порядку:

                     (3.31)

Підставимо значення перших двох рівнянь системи (3.31) і визначимо координати  і :

                    (3.32)

Перемноживши матриці М₁₀ і М_21, маємо:

Помноживши цю матрицю на :

де .

Помноживши квадратну матрицю  на стовпцеві матрицю  і повернувшись до звичайної координатної форми, отримаємо:

(3.33)

Скориставшись рівнянням (3.33), ми можемо знайти координати будь-якої точки на ланці 3, а значить цілком визначити її положення.

Аналогічно встановимо взаємні положення інших ланок.

Рівняння перетворення координат

Загальні рівняння перетворення координат систем  і :

                      (3.34)

де  – координати початку системи координат  у системі координат ;

       – коефіцієнти при координатах  (напрямні косинуси), тобто:  і т.д.

Запишемо (3.34) у матричній формі:

                                          (3.35)

            (3.36)

Напрямні косинуси можна також виразити через кути Ейлера (відраховуємо від лінії вузлів ). Лінія  – лінія перетину площин  і  (рис. 3.7). Кут між віссю  і лінією вузлів – кут прецесії . Кут між віссю  і лінією вузлів – кут чистого обертання . Кут між осями  і  – кут нутації .

Рис. 3.7