3.1. Погрупний метод аналітичного дослідження кінематики механізмів

Положення будь-якої точки А на координатній площинні (рис. 3.1) можна задати координатами х_А і у_А або радіус-вектором r_A відносно початку координат О, положення точки В – координатами х_В і у_В і т. д.

Тоді модуль радіус-вектора і напрямний кут зв’язані з координатами (для прикладу розглянемо точку А):

Рис. 3.1

Координати т. А можна виразити через модуль радіус-вектора і напрямний кут:

Положення будь-якої точки ланки АВ на координатній площинні можна задати координатами двох точок і ; або координатами однієї з точок, довжиною ланки АВ і значенням напрямного кута φ_АВ.

Кінематика механізму 1-го класу

Початкова ланка зі стояком утворюють механізм 1-го класу, 1-го порядку (рис. 3.1).

Початкова ланка може виконувати як обертовий (рис. 3.2,а) так і поступальний (рис. 3.2,б) рухи. Відповідно, при обертовому русі положення кривошипа відносно стояка буде визначати кут , при поступальному – переміщення повзуна s₁.

Рис. 3.2

Параметри або називаються узагальненою координатою, яка визначає положення всіх ланок механізму.

Координати т. А кривошипа ОА у системі координат хОу мають вигляд:

(3.1)

де – координати центра обертання кривошипа;

– дійсна довжина кривошипа.

Продиференціюємо рівняння (3.1) за узагальненою координатою . Одержимо аналоги проекції швидкості точки А на координатні вісі х і у:

(3.2)

де

Повторним диференціюванням рівняння (1) знайдемо аналоги проекцій прискорень точки А на ці самі осі:

(3.3)

де (3.4)

Розглянемо структурну групу І-го виду

Для цього необхідно знати (рис. 3.3):

– координати точок і , якими група приєднується до основного механізму, аналоги проекцій їхніх швидкостей та прискорень за узагальненою координатою ;

Рис. 3.3

– лінійні та кутові розміри ланок : , де і – точки приєднання наступних структурних груп.

Напрямки координатних осей х і у групи можуть бути довільними.

Положення ланок i та j визначається кутами і , а допоміжного вектора – кутом . Модуль вектора та його кут нахилу знайдемо:

(3.5)

Чверть тригонометричного кола, у якому розміщений кут , цілком визначається знаками чисельника і знаменника виразу (3.5), через те, що .

Розглянувши , маємо:

(3.6)

Тоді

(3.7)

При відомих координатах точок М і N, кутах і можна визначити координати центрів мас і (або точок і ):

(3.8)

Запишемо векторне рівняння замкнутого контуру :

. (3.9)

У проекції на вісь х рівняння (3.9) запишеться:

(3.10)

Про диференціювавши рівняння (3.10) за узагальненою координатою , запишемо:

(3.11)

де і т.д.

У цьому рівнянні дві величини невідомі і . Для їхнього визначення послідовно повертаємо систему координат хОу на кути і . Після відповідних перетворень одержимо:

(3.12)

Щоб визначити аналоги прискорень , , необхідно про диференціювати за узагальненою координатою рівняння (3.11):

(3.13)

Здійснивши знову поворот системи координат на кути і знайдемо:

(3.14)

Використовуючи залежності (3.5)-(3.7), (3.12), (3.14) можна скласти підпрограму, яка дає можливість при заданих параметрах руху точок М і D та розмірах ланок і , j визначити кутові переміщення і , аналоги швидкостей і ат кутові прискорення і .

Аналоги проекцій швидкостей і прискорень центрів мас і одержимо шляхом диференціювання за узагальненою координатою рівнянь (3.8):

(3.15)

Координати будь-якої точки ( або ), що лежать на ланках групи, та їхні аналоги швидкостей та прискорень визначаються так само, як і координати точок і .

Структурна група ІІ виду

Ланки цієї групи (рис. 3.4) приєднуються до основного механізму і утворюють з його ланками обертову М і поступальну N пари.

Для того, щоб провести кінематичне дослідження цієї групи відомими повинні бути такими величини:

– координати х_М і у_М точки М їх аналоги швидкостей і прискорень ;

– координати і будь-якої точки F (або ) у системі координат хОу, через яку проходить вісь напрямної повзуна N і кут її нахилу до осі х, а також їхні аналоги швидкостей і прискорень ;

– лінійні та кутові розміри ланок і : , .

Залежності для визначення кінематичних параметрів зручно записувати у системі, причому вісь спрямувати паралельно напрямній у бік додатної проекції вектора на цю вісь (рис. 3.4).

(3.16)

Рис. 3.4

Кут, який визначає положення шатуна , можна знайти за залежністю:

(3.17)

де – відстань від точки до напрямної .

У системі координат хОу положення ланок групи визначається кутами:

(3.18)

Основні залежності для визначення кінематичних параметрів ланок можна одержати, якщо записати векторна рівняння:

(3.19)

Із рівняння проекцій на осі х₂ і у₂ знаходимо:

(3.20)

Зазначимо, що у цій групі ; .

Продиференціюємо рівняння (3.20) за узагальненою координатою :

(3.21)

(3.22)

де

(3.23)

Якщо є потреба одержати кінематичні параметри будь-якої точки або всіх груп механізму в одній системі координат, наприклад, у системі хОу, систему повертаємо на кут . Для цього використовуємо ті ж залежності (3.19), (3.20), (3.22), (3.23).

Структурна група ІІІ виду

Для дослідження цієї групи вихідними даними є:

– координати точок М і N, їхні аналоги швидкостей і прискорень: ;

– лінійні та кутові розміри ланки (тут прийнято ). е – додатній, якщо порядок позначення за ходом годинникової стрілки (рис. 3.5 – контурна лінія); е – від’ємний, якщо порядок позначення проти ходу годинникової стрілки (рис. 3.5 – штрихова лінія).