8.1. Математичний метод планування експериментів

Завдяки використанню математичного апарату формалізуються дії дослідника, дослідження проводяться при одночасному варіюванні всіх факторів, рівні факторів приймаються за спеціальними розрахунками, число дослідів доводиться до мінімуму, а після кінцевої серії дослідів є можливість приймати обґрунтовані рішення.

При користуванні цим методом, реакцію досліджуваної системи на дію факторів прийнято називати відгуком. відгук – це результат досліду (шуканий показник або параметр). Крім терміну “відгук” можуть використовуватися інші терміни: параметр оптимізації, вихідний параметр.

Вид функції відгуку називається моделлю. Це залежність .

Математична модель подається як поліном, що також називається рівнянням регресії. Це рівняння може бути лінійним, неповним квадратним, повним квадратним або більш високих степенів.

Для трифакторного досліду повне квадратне рівняння має вид (без урахування дії добутку всіх трьох факторів):

,    (8.3)

де  – кодові значення факторів;

 – коефіцієнти за відповідних значень х.

Неповне квадратне рівняння одержимо з (8.3) при :

,                 (8.4)

лінійне рівняння – з рівняння (8.4) при :

.                                                        (8.5)

Число дослідів при математичному методі планування експериментів значно менше, ніж при класичному. Для одержання  лінійного і неповного квадратного рівнянь шляхом застосування повного факторного експерименту (ПФЕ) планування здійснюється на двох рівнях (), а для одержання повного квадратного рівняння – на трьох (). При класичному методі проведення експериментів число рівнів повинно бути не менше п’яти.

Таким чином, коли число факторів складає 2, а число рівнів за кінцевим фактором однакове і дорівнює 5 (при класичному методі), то, користуючись формулою (8.1), маємо число дослідів, якщо застосовувати класичний метод, , а якщо застосовувати математичний метод планування експерименту для одержання лінійного і неповного квадратного рівнянь, число дослідів буде  (застосовуючи ПФЕ), якщо ж при використанні математичного методу планування експерименту ставиться задача мати повне квадратне рівняння, то . Як 4, так і 9 значно менші за 25, тобто математичний метод дає змогу зменшити число дослідів.

При ПФЕ зі збільшенням числа факторів зростає також число дослідів. При великій кількості факторів з метою зменшення числа дослідів застосовують роздрібнений факторний експеримент (РФЕ), який одержують діленням числа дослідів ПФЕ відповідно на 2, 4, 8 і т.д.

Число дослідів у РФЕ дорівнює

,                                                             (8.6)

де р – роздрібненість репліки.

Розглянемо порядок проведення експериментів цими методами:

1)    кодування факторів;

2)    складання плану-матриці експерименту;

3)    рандомізація дослідів;

4)    реалізація плану експерименту;

5)    перевірка відтворюваності дослідів;

6)    перевірка адекватності моделі;

7)  оцінка значущості коефіцієнтів регресії.