Практична робота №1.
 
Метрологічна оцінка результатів прямих однократних вимірювань
 
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
 
 При вимірюванні фізичних величин за допомогою навіть найточніших засобів і методів їх результат завжди відрізняється від дійсного значення вимірюваної фізичної величини, тобто визначається з деякою похибкою. Визначення «похибка» є одним з центральних в метрології, в якому використовуються поняття «похибка результату вимірювання» і «похибка засобу вимірювання».
 Похибкою результату вимірювання називається відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної фізичної величини. Оскільки істинне значення вимірюваної величини невідоме, то при кількісній оцінці похибки користуються дійсним значенням величини. Це значення знаходиться експериментальним шляхом і близьке до істинного значення, тому для поставленого вимірювального завдання може бути використане замість нього.
 Похибка засобу вимірювання (інструментальна похибка) – різниця між показами ЗВ і дійсним (істинним) значенням вимірюваної фізичної величини. Вона характеризує точність результатів вимірювання, що проводяться даним засобом.
 Існує п'ять основних ознак, по яких класифікуються похибки вимірювання.
1) За способом кількісного виразу похибки діляться на абсолютні, відносні і зведені.
Абсолютною похибкою Δ, вираженою в одиницях вимірюваної величини, називається відхилення результату вимірювання Х від дійсного значення Хд :
Δ = Х − Хд (1)
 Абсолютна похибка характеризує величину і знак отриманої похибки, але не визначає якість самого проведеного вимірювання. 
Поправкою називається абсолютна похибка, взята з протилежним знаком , поправка вводиться в результат вимірювання для компенсації інструментальної похибки: Хд = Хв + σ.
 Поняття похибки характеризує недосконалість вимірювання. Характеристикою якості вимірювання є поняття точності вимірювань, що відображає міру близькості результатів вимірювань до дійсного значення вимірюваної фізичної величини. Точність і похибка зв'язані зворотною залежністю. Інакше кажучи, високій точності вимірювань відповідає мала похибка. Тому, аби мати можливість порівнювати якість вимірювань, введене поняття відносної похибки.
Відносною похибкою δ називається відношення абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини:
δ = Δ / Хд.  (2)
 Похибку δ часто виражають в відсотках: δ = 100 · Δ / Хд (%). Оскільки Δ << Хд, то відносна похибка може бути визначена як δ ≈ Δ / Х або δ ≈ 100 · Δ / Х (%). Мірою точності вимірювань є величина, зворотна модулю відносної похибки, тобто 1/|δ|.
 Із співвідношення (2) видно, що значення відносної похибки δ зменшується із зростанням величини Хд. Тому для вимірювань доцільно вибирати такий прилад, покази якого були б в кінцевій частині його шкали (діапазону вимірювань), а для порівняння різних приладів використовувати поняття зведеної похибки.
 Зведеною похибкою γз, що виражає потенційну точність вимірювань, називається відношення абсолютної похибки Δ до деякого нормуючого значення XN (наприклад, до кінцевого значення шкали приладу – границі вимірювання або суми кінцевих значень шкал при двосторонній шкалі):
γз = 100Δ / XN (%). (3)
В загальному випадку XN=Xmax-Xmin, де Xmax і Xmin  - максимальне і мінімальне значення шкали.
2) По характеру зміни похибки вимірювань поділяються на систематичні, випадкові і грубі (промахи).
 Систематичні похибки Δc – складові похибки вимірювань, що залишаються постійними або закономірно змінюються при багатократних (повторних) вимірюваннях однієї і тієї ж величини в одних і тих же умовах. Такі похибки можуть бути виявлені шляхом детального аналізу можливих їх джерел і зменшені (застосуванням точніших приладів, калібруванням приладів і ін.). Проте повністю їх усунути не можна.
 По характеру зміни в часі систематичні похибки поділяються на постійні ( що зберігають в часі величину і знак), прогресуючі (що зростають або зменшуються в часі), періодичні, а також що змінюються в часі по складному неперіодичному закону. Основні з цих похибок – прогресуючі.
Випадкові похибки Δв – складові похибки вимірювань, що змінюються випадковим чином при повторних (багатократних) вимірюваннях однієї і тієї ж величини в одних і тих же умовах. 
 Грубі похибки (промахи) – похибки, що істотно перевищують очікувані результати. Такі похибки виникають через помилки оператора або невраховані зовнішні впливи. Їх виявляють при обробці результатів вимірювань і виключають з розгляду, користуючись певними правилами.
3) По причинах виникнення похибки вимірювання поділяються на методичні, інструментальні, зовнішні і суб'єктивні.
 Методичні похибки виникають зазвичай через недосконалості методу вимірювань, використання невірних теоретичних передумов (допущень) при вимірюваннях, а також через вплив вибраного засобу вимірювання на вимірювані фізичні величини. 
При підключенні електровимірювального приладу від джерела сигналу споживається деяка потужність. Це приводить до спотворення режиму роботи джерела сигналу і викликає похибка методу вимірювання (методичну похибка). Так, наприклад, якщо вольтметр має недостатньо високий вхідний опір, то його підключення до схеми здатне змінити в ній розподіл струмів і напруги. При цьому результат вимірювання може істотно відрізнятися від дійсного. 
 Якщо, наприклад, для вимірювання струму в деяке коло включити амперметр, причому вихідний опір кола по відношенню до затискачів амперметра рівний R, а напруга холостого ходу по відношенню до тих же затискачів U, то дійсне значення струму в ланцюзі запишеться як , а виміряне дорівнює .
Тоді абсолютна методична похибка дорівнює різниці виміряного значення струму і дійсного:
.   (4)
Відносна методична похибка при цьому рівна:
. (5)
Аналогічно при вимірюванні напруги на затискачах активного двополюсника з вихідним опором R і напругою холостого ходу U вольтметром з внутрішнім опором RV можна отримати:
, . (6)
З (5) і (6) видно, що для зменшення методичної похибки при виборі вимірювальних приладів необхідно дотримуватися умов  і .
 Інструментальні (апаратурні, приладові) похибки виникають через недосконалості засобів вимірювання. Джерелами інструментальних похибок можуть бути, наприклад, неточне градуювання приладу і зсув нуля, варіація показів приладу в процесі експлуатації і так далі. Зменшують інструментальні похибки вживанням точнішого приладу.
 Зовнішня похибка – важлива складова похибки вимірювання, пов'язана з відхиленням однієї або декількох впливаючих величин від нормальних значень або виходом їх за межі нормальної області (наприклад, вплив вологості, температури, зовнішніх електричних і магнітних полів, нестабільності джерел живлення, механічних дій і так далі). В більшості випадків зовнішні похибки є систематичними і визначаються додатковими похибками застосовуваних засобів вимірювань.
 Суб'єктивні похибки викликаються помилками оператора при відліку показів засобів вимірювання (похибки від недбалості оператора, від паралаксу, тобто від неправильного напряму погляду при відліку показів стрілочного приладу і ін.). Подібні похибки усуваються застосуванням сучасних цифрових приладів або автоматичних методів вимірювання.
4) По характеру поведінка вимірюваної фізичної величини в процесі вимірювань розрізняють статичні і динамічні похибки.
 Статичні похибки виникають при вимірі сталого значення вимірюваної величини, тобто коли ця величина перестає змінюватися в часі.
 Динамічні похибки мають місце при динамічних вимірюваннях, коли вимірювана величина змінюється в часі і потрібно встановити закон її зміни. Причина появи динамічних похибок полягає в невідповідності швидкісних (часових) характеристик приладу і швидкості зміни вимірюваної величини.
5) За умовами, в яких використовуються засоби вимірювання, розрізняють основну і додаткову похибки.
 Нормальним умови застосування засобів вимірювань є ряд основних вимог: температура довколишнього повітря (20±5) °С; відносна вологість (65±15) %; атмосферний тиск (100±4) кПа; напруга мережі живлення (220±4) В і (115±2,5) В; частота мережі (50±1) Гц і (400±12) Гц. 

Основна похибка вимірювального приладу має місце за нормальних умов експлуатації засобу вимірювання, обумовлених в регламентуючих документах (паспорті, технічних умовах і ін.).

Додаткова похибка вимірювань виникає при відхиленні умов експлуатації ЗВ від нормальних (номінальних). Дана похибка, як і основна, вказується в нормативних документах. Необхідно відзначити, що проведена вище класифікація похибок вимірювань є умовною (відносною).

Для того, щоб оцінити похибку, яка входить в кінцевий результат вимірювання, користуються граничними значеннями похибки.

Границя допустимої основної абсолютної похибки - це максимальне сумарне значення похибки приладу, при якому він допускається до використання і може бути представлена у вигляді:

- постійним для будь-яких Х числом, що характеризує адитивну похибку:

Δ_гр= ± а, (7)

- в двочленному виді, що включає адитивну і мультиплікативну складові:

Δ_гр = ± (a+b*х) , (8)

де а - адитивна похибка – не залежить від чутливості приладу і є постійною для всього діапазону вимірювань; b - мультиплікативна похибка – залежить від чутливості приладу і змінюється пропорційно до поточного значення вхідної величини; х – поточне значення вимірювання.

Інтерпритація сказаного приведена на рис. 1.1.

Рис 1.1. Адитивна і мультиплікативна похибки ЗВ.

- в вигляді рівняння: Δ_гр = f(x) (9)

При складній функціональній залежності допускається представлення похибки в вигляді графіка чи таблиці.

При однократних вимірюваннях оцінку похибки результату вимірювання проводять на основі класу точності приладу К, що нормується у всьому діапазоні вимірювань і вибирається з чисел (1; 1.5; 2; 2.5; 3; 4; 5; 6)*10ⁿ, де n=1, 0, -1,  -2, -3, .. .

Існують наступні види позначення класу точності приладів:

1. Клас точності вказують одним з чисел приведеного ряду р і відповідає зведеній похибці γ_з. Використовується для приладів з рівномірною шкалою, в яких границя допустимої зведеної похибки стала (присутня тільки адитивна складова похибки (7)). Використовується для позначення похибки вольтметрів, амперметрів, ватметрів тощо. Тоді:

±= р,%; ; . (10)

2. Клас точності вказується з чисел ряду у вигляді . Використовується для засобів вимірювань з нерівномірною шкалою, наприклад омметрів. Тоді, крім значень вимірюваної величини Х, необхідно записати відлік приладу Х΄ і нормоване значення (діапазон вимірювання) в одиницях довжини шкали приладу (мм, см, поділок):

±= р,%; . (11)

3. Клас точності вказується у вигляді . Для приладів, в яких границя допустимої відносної похибки стала на всьому діапазоні вимірювань (існує тільки мультиплікативна похибка). При цьому вказуються границі робочого діапазону даного класу точності. Використовується для вимірювальних мостів, магазинів, масштабних перетворювачів. Тоді:

. (12)

4. Клас точності записується двома числами с/d, наприклад 0,02/0,01. Застосовують для засобів, похибка яких нормується за формулою (8). Використовується для цифрових вольтметрів, потенціометрів постійного струму та ін. високоточних приладів.

; ; . (13)

де – границя вимірювань;

- зведена похибка в кінці діапазону вимірювань ();

- зведена похибка на початку діапазону (Х=0), причому .

Тоді інтервал дійсного значення вимірюваної величини в будь-якому випадку записується у вигляді:

Хд = Х_В ± Δ_гр. (14)

МЕТОДИКА РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

Приклад 1.1. Амперметр з верхньою межею вимірювання I_N = 10 A, числом поділок шкали α_max = 100 має клас точності 0,5.Під час вимірювання стрілка приладу відхилилась на 55 поділок. Визначити абсолютну і відносну похибку вимірювання, записати інтервал дійсного значення струму.

Розв’язання.

Обчислюємо ціну поділки амперметра:

.

Тоді виміряне значення струму:

.

Абсолютна похибка вимірювання:

.

Відносна похибка вимірювання:

.

Інтервал дійсного значення струму:

.

Приклад 1.2. Для вимірювання опору непрямим методом використали два прилади: амперметр М253; магнітоелектричний; класу точності 0,5; 0,75A; 39мВ і вольтметр М253; магнітоелектричний; класу точності 0,5; 75В; 0,75мА. Покази приладів U=33В, I=0,7А. Вибрати схему вимірювання, що забезпечувала б найменшу методичну похибку та визначити в яких межах знаходиться дійсне значення вимірюваного опору .

а) б)

Рис.1.2. Вимірювання опору: а) за схемою правильного вимірювання струму; б) за схемою правильного вимірювання напруги.

Розв’язання.

Значення опору згідно показів приладів:

Ом.

Внутрішні опори приладів:

Ом, Ом.

Визначимо методичні похибки вимірювання опору для обох схем.

Абсолютна методична похибка вимірювання для схеми рис.1.2,а:

Ом.

Відносна методична похибка вимірювання для схеми рис.1.2,а):

.

Відповідно абсолютна і відносна методичні похибки для схеми рис.1.2,б:

Ом.

Отже вибираємо схему вимірювання опору за схемою правильного вимірювання напруги (рис.1.2,б). Визначимо похибки приладів:

А;

В;

Сумарна відносна похибка вимірювання:

Абсолютна похибка вимірювання:

Ом.

Дійсне значення опору:

Ом

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

1. Виміряне значення опору R=150 Ом, границя допустимої відносної похибки вимірювання δ = 1,0 %. Знайдіть інтервал, в якому повинне знаходитися Rд — дійсне значення опору.

2. При повірці амперметра прилад показав І_А=80mА, а зразковий амперметр І=83mА. Кінцеве значення шкали повіреного приладу I_N=150mА. Знайти абсолютну, відносну і зведену похибку приладу.

3. Вольтметр з максимальним показом U_N=300В має рівномірну шкалу на 100 поділок, його клас точності позначений γ_v=0,5. Визначити ціну поділки і границі абсолютної допустимої похибки.

4. Основна зведена похибка амперметра з максимальним відхиленням стрілки 5А, рівна 0,5%. Оцінити абсолютну і відносну похибки вимірювання, якщо показ приладу рівний 1 А, записати інтервал дійсного значення величини.

5. Амперметр, клас точності якого 1,5 має кінцеве значення шкали 300мкА. Визначити діапазон значень струму, в якому відносна похибка не перевищить 5%.

6. Відомі абсолютна і відносна похибки вимірювання – 5 Ом і 10%. Визначити виміряне значення опору і записати межі дійсного його значення.

7. Для схеми, зображеної на рисунку 1.3,а, (Е=23В, R=167Ом) вибрати амперметр та розрахувати допустиму граничну похибку вимірювання струму, враховуючи внутрішній опір приладу.

8. Для схеми, зображеної на рисунку 1.3,б, (Е=10В, R₁=301Ом, R₂=215Ом) вибрати вольтметр і розрахувати допустиму граничну похибку вимірювання напруги, враховуючи внутрішній опір приладу.

а) б)

Рис. 1.3 До задач 7 і 8.

9. Вибрати прилади (амперметр і вольтметр) та схему вимірювання опору з похибкою не більшою δ_R =1,5%. Розрахункові значення струму та напруги в колі I=9,5А, U=4В.

10. Для вимірювання напруги 220 В взяли два вольтметри, з'єднані послідовно. Перший вольтметр має межу вимірювання 150 В, внутрішній опір 12 кОм, клас точності 0,5; другий вольтметр з межею вимірювання 120 В має внутрішній опір 10 кОм, клас точності 0,5. Визначте покази кожного вольтметра і найбільші абсолютну і відносну похибки.

11. Після ремонту щитового вольтметра (клас точності К=1,5; U_NV=150 В) здійснили перевірку приведеної похибки приладу. Найбільша абсолютна похибка В зафіксована на позначці шкали U=120 В. Чи відповідає вольтметр заданому класу точності?

12. Маємо три засоби вимірювань: ЗВ1, ЗВ2, ЗВ3. Позначення їх класів точності відповідно – 1,0; ; 0,1/0,05.

Запишіть для кожного з даних засобів вимірювання вирази граничних значень для основної абсолютної, відносної і зведеної похибок. При цьому значення вимірюваної величини Х, а нормуюче значення Х_N.

13.Вольтметром класу точності 0,5 з діапазоном показів (0..0,3)В, шкалою на 150 поділок і вхідним опором 10кОм вимірюється напруга постійного струму на затискачах джерела, що має вихідний опір 100 Ом. Відлік по шкалі приладу становить 131 поділку. Записати результат вимірювання.

Примітка: Технічні дані амперметрів та вольтметрів наведені в додатку 1.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.       Що називають систематичною похибкою вимірювання?

2.       Які існують форми виразу систематичної похибки?

3.       Як розраховується абсолютна і відносна похибка вимірювання?

4.       Як здійснюється вибір приладів для проведення вимірювань?

5.       Як розрахувати методичні похибки вимірювання? В яких одиницях вони вимірюються?

6.       Як впливає внутрішній опір приладів на результат вимірювання?

7.       Чим визначається зведена похибка вимірювання?

8.       Як записати дійсне значення вимірюваної величини?

9.       Що таке гранично допустиме значення похибки?

10.    Вкажіть існуючі види позначення класів точності вимірювальних приладів.

Додаток 1.

Основні технічні дані амперметрів та вольтметрів магнітоелектричної системи

Міліамперметри				Мілівольтметри
Тип	Кл. точн.	Межа вимір. , мА	Спад напр. , мВ	Тип	Кл. точн.	Межа вимір. , мВ	Струм повн. відх. ,мА
М1104	0,2	0,75	27	М1106	0,2	45	1,0
М1104	0,2	1,5	55	М1106	0,2	75	1,0
М1104	0,2	3	68	М1106	0,2	150	1,0
М1104	0,2	7,5	80	М1106	0,2	300	1,0
М1104	0,2	15	80	М1106	0,2	750	1,0
М1104	0,2	30	80	М2007	0,2	15	0,25
М1104	0,2	75	80	М2007	0,2	60	0,5
М1104	0,2	150	80	М1109	0,2	15	0,5
М1109	0,2	60	75	М109	0,5	45	3,0
М109	0,5	50	270	М253	0,5	15	0,75
М109	0,5	200	270	М253	0,5	30	1,5
М253	0,5	0,75	16	М253	0,5	60	3,0
М253	0,5	1,5	32	М253	0,5	75	0,75
М253	0,5	3	64	М253	0,5	150	1,5
М253	0,5	7,5	27	М253	0,5	300	3,0
М253	0,5	15	54	М123	0,5	75	1,0
М253	0,5	30	108	М123	0,5	150	1,0
М253	0,5	75	27	М1172	0,5	100	1,0
М253	0,5	150	54	М1172	0,5	300	1,0

Продовження додатку 1

Амперметри				Вольтметри
Тип	Кл. точн.	Межа вимір. , А	Спад напр. , мВ	Тип	Кл. точн.	Межа вимір. , В	Струм повн. відх. ,мА
М1104	0,2	0,3	87	М1106	0,2	1,5	1,0
М1104	0,2	0,75	87	М1106	0,2	3	1,0
М1104	0,2	1,5	100	М1106	0,2	7,5	1,0
М1104	0,2	3	100	М1106	0,2	15	1,0
М1104	0,2	7,5	140	М1106	0,2	30	1,0
М1104	0,2	15	160	М1106	0,2	75	1,0
М1104	0,2	30	230	М1106	0,2	150	1,0
М109	0,5	1	55	М253	0,5	0,75	0,75
М109	0,5	2	55	М253	0,5	1,5	1,5
М109	0,5	5	65	М253	0,5	3	3,0
М109	0,5	10	65	М253	0,5	7,5	0,75
М253	0,5	0,3	108	М253	0,5	15	1,5
М253	0,5	0,75	39	М253	0,5	30	3,0
М253	0,5	1,5	78	М253	0,5	75	0,75
М253	0,5	3	156	М253	0,5	150	1,5
М253	0,5	7,5	63	М253	0,5	300	3,0
М253	0,5	15	125	М109	0,5	5	0,01
М253	0,5	30	250	М109	0,5	20	0,01