Т.4 Теорія водневоподібного атома у квантовій теорії

§1. Принцип відповідності Бора

Енергія електрона в потенціальній ямі (бруску провідника) є квантована:

1. Знайдемо “відстань” в одиницях енергії між сусідніми енергетичними рівнями частинки в потенціальній ямі, зображеній на рисунку 4. 1.

Рис. 4. 1

Енергія частинки на n-ному енергетичному рівні визначається виразом:

на n+1 рівні:

“Відстань” між сусідніми рівнями:

2. Порівняємо, у скільки разів величина енергетичної щілини між рівнями n і n+1 відрізняється від значення енергії на n-ному енергетичному рівні:

Відомо, що:

Тоді:

Для великих значеннях:

тому:

Висновки.

Для більших значень "n" енергетична щілина ΔW менша за енергію сусідніх рівнів. Зі збільшенням значення "n" говорити про дискретність енергетичних рівнів з фізичної точки зору стає неможливим. Таким чином, при збільшенні n класичною стає ситуація з неперервним набором значень енергії частинки, що рухається.

Принцип відповідності Бора (1923): для великих квантових чисел висновки і наслідки квантової механіки повинні приводити до висновків класичної механіки.

§2. лінійний гармонічний осцилятор

Лінійним гармонічним осцилятором називається частинка з масою m, яка коливається вздовж осі під дією квазіпружної сили. Одновимірна модель руху електрона навколо атомного ядра подібна до лінійного гармонічного осцилятора, тому його енергія описується у квантових термінах. Зі стаціонарного рівняння Шредінгера власні значення енергії гармонічного осцилятора мають такий вигляд:

або

,

тут

Висновки.

1. Енергії гармонічних осциляторів кантуються.

2. Виходячи з вищесказаного, енергії електронів в атомі також повинні бути виміряні.

3. Мінімальна енергія, яку може мати гармонічний осцилятор (електрон в атомі), відмінна від нуля:

4. Дана енергія називається нульовою енергією і не може бути видалена з осцилятора ніяким охолодженням навіть до абсолютного нуля.

5. Той факт, що атоми в кристалах зберігають певне "нульове" коливання навіть при абсолютному нулі, підтверджено дослідами з розсіювання світла кристалами при різних температурах.

6. Потенціальна енергія електрона в ядерному полі

записана в стаціонарне рівняння Шредінгера

дозволяє з розв’язків цього рівняння знайти енергію електрона в атомі:

7. Оскільки хвильова функція для електрона в атомі задана в просторі, то вона має три ступені вільності і, відповідно, характеризується трьома квантовими числами:

§3. Квантові числа та їхній фізичний зміст. Правила відбору.

I. n - це головне квантове число, яке відповідає не кількісті орбіталей, як у Бора, а кількості груп станів, в яких два інших квантових числа можуть набувати різних значень:

n=1, 2 ,3, 4 … (правило відбору для n).

II. l - це орбітальне квантове число, яке визначає величину імпульсу електрона, що рухається навколо ядра:

ІІІ. m – це магнітне квантове число, що визначає проекцію моменту імпульсу електрона на певний напрям зовнішнього магнітного поля (див. рис. 4.2):

Рис. 4.2.