Т.2 Елементи квантової механіки

 

 

§1. Корпускулярно – хвильовий  дуалізм речовини і поля. Гіпотеза де Бройля

 

І.І. У 1924 р. де Бройль висунув гіпотезу про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму: кожному мікрооб’єкту з одного боку притаманні корпускулярні характеристики (енергія і імпульс), а з іншого – хвильові характеристики (частота і довжина хвилі).

         Припустивши, що співвідношення між імпульсом фотона і довжиною його хвилі має універсальний характер для довільного матеріального об’єкта, де Бройль довів наступну формулу:

Висновок. Кожному матеріальному об’єкту, що має імпульс, відповідає плоска хвиля з певною довжиною хвилі.

 

І.ІІ. Для частинки, що має масу і швидкість набагато меншу за швидкість світла:

1) імпульс частинки: 

а значить довжина хвилі де Бройля визначатиметься:

2) якщо відома кінетична енергія частинки, тоді імпульс частинки:

а значить:

3) для електрона, прискореного різницею потенціалів:

а значить:

 

І.ІІІ. Якщо швидкість частинки співмірна з швидкістю світла:

1)

                  

де                       

Тоді:

                  

2) Якщо

                           

враховуючи, що імпульс:   

 

 

 

одержимо:

                  

 

§2.  Дослід Девіссона і Джермера на підтвердження корпускулярно - хвильового дуалізму (1927р.)

 

ІІ. І. Схема експерименту

Рис. 2. 1

Г – електронна гармата; S – діафрагма для утворення вузького пучка електронів;

F – циліндр Фарадея; G – гальванометр.

 

ІІ. ІІ. Результати експерименту

Залежність інтенсивності розсіяних електронів, падаючих на кристал під кутом 650 від їх кінетичної енергії представлено на рис. 2.2.

Рис. 2. 2

 

Якщо за формулою

визначити довжину хвилі де Бройля  і підставити її у формулу Вульфа-Брегів щодо дифракції електромагнітних хвиль на просторовій ґратці:

то обчислений напрям на перший дифракційний максимум дасть кут 650.

 

ІІ.ІІІ. Висновок

         В експериментах з дифракції на просторовій ґратці електрони:

-  з одного боку, ведуть себе як частинки (корпускули), коли енергія надається їм різницею потенціалів у електронній гарматі;

- з іншого боку, електрони ведуть себе як хвилі, коли беруть участь у дифракції за законом Вульфа-Брегів.

         Отже, двоїста корпускулярно-хвильова природа частинок, як передбачав де Бройль, була підтверджена експериментально.

 

§3. Властивості хвиль де Бройля

 

ІІІ. І. Чому хвильові процеси (дифракція) не спостерігаються у кулі, що вилетіла з гвинтівки?

За формулою для довжини хвилі де Бройля

Підставимо значення фізичних величин:

Розрахунки дають довжину хвилі:

         Проте, щоб спостерігати дифракційну картину, необхідна дифракційна ґратка з періодом співмірним з довжиною  хвилі. Враховуючи, що найменший розмір доступний людині сьогодні  є  розмір  атома ( 10-10 м ),  зрозуміло,  що спостерігати таку дифракцію немає можливості.

 

ІІІ.ІІ. Фазова швидкість хвиль де Бройля

Швидкість руху хвильової поверхні (поверхні сталої фази) для синусоїдальної хвилі називається фазовою швидкістю.

Враховуючи, що фазова швидкість довільної хвилі, в тому числі і хвилі де Бройля, визначається виразом:

знаючи що:

а значить:

одержимо:

 

Висновок. Вважаючи, що не існує об’єктів із  швидкістю більшою за швидкість світла, хвилі де Бройля не мають природного аналога.

 

ІІІ.ІІІ. Групова швидкість хвиль де Бройля

Визначимо групову швидкість хвиль де Бройля, як

де   - інтервал циклічних частот хвиль групи;

 - інтервал хвильових чисел хвиль групи.

Тому групову швидкість представимо:

Враховуючи, що:

а також те, що:

одержимо:

Висновок.  Групова швидкість хвиль де Бройля рівна швидкості відповідного їй тіла.

 

ІІІ.ІV. Імпульс хвиль де Бройля

З формули для довжини хвилі де Бройля:

знайдемо імпульс хвиль де Бройля:

Враховуючи, що:

вираз для імпульсу хвиль де Бройля набере вигляду:

або у векторному вигляді:

Висновок. Імпульс хвилі де Бройля співпадає за величиною і напрямом з імпульсом плоскої хвилі.

 

§4. Хвильова функція і її статистичний  зміст

1. З точки зору хвильової теорії, максимуми картини дифракції електронів у досліді Девіссона і Джермера відповідають найбільшій інтенсивності хвиль де Бройля.

2. Але процес попадання електронів у різні місця на фотоплівці не є індивідуальним.

3. Принципово неможливо передбачити, куди саме попаде черговий електрон після розсіювання. Тому існує лише певна ймовірність попаданняелектрона у те чи інше місце.

4. Таким чином, опис стану мікрооб'єкта та його поведінку можна подати лише виходячи з поняття ймовірності.

5. Тому у квантовій механіці для характеристики станів мікрооб'єктів у мікросвіті вводять поняття  хвильової функції (псі - функції):

Макс Борн у 1926р дав фізичну інтерпретацію хвильової псі - функції: квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірність, з якою частинка може бути виявлена в одиничному об’ємі простору, тобто є густиною ймовірності:

де                        ,

є ймовірність появи частинки в елементі простору .

Ймовірність знайти частинку у певному об’ємі простору визначається:

Висновок. З фізичного змісту хвильової функції випливає, що вона має статистичний характер:

1) не дозволяє встановити траєкторію та координати частинки у просторі;

2)дає можливість лише передбачити ймовірність знаходження частинки в різних точках простору

 

Для об’єктивної характеристики стану  мікрочастинки хвильова функція цієї частинки повинна задовольняти ряд умов:

1) псі - функція повинна бути скінченна;

2) псі-функція повинна бути однозначна; 

3) псі-функція повинна бути неперервна;

4) часткові похідні по часу і координатах псі-функції мають бути неперервними;

5) псі-функція повинна виконувати умову нормування на одиницю:

Умова нормування:ймовірність знайти частинку у всьому фізичному просторі є достовірною подією з ймовірністю рівною одиниці.

 

§5. Співвідношення невизначеності Гейзенберга

У 1927 році німецький фізик В. Гейзенберг проаналізував, як впливають хвильові властивості мікрочастинок на їх поведінку.

Результати досліджень привели до висновку:

об'єкт мікросвіту неможливо одночасно, з наперед заданою точністю, характеризувати і координатою, і імпульсом.

 

V.І. Співвідношення невизначеності для координати та імпульсу

         Мікрочастинка  (мікрооб'єкт) не може мати одночасно точно визначені координату х і імпульс р, причому невизначеності цих величин задовольняють умову: добуток невизначеності координати та імпульсу не може бути меншим за постійну Планка:

Нижче наведений рисунок 2. 3, який ілюструє дане співвідношення.

Рис. 2. 3

 

V.ІІ. Співвідношення невизначеності для енергії частинок і часу їх взаємодії

         Співвідношення невизначеності Гейзенберга можна узагальнити для інших канонічно спряжених величин. Наприклад, для енергії частинок і часу їх взаємодії: добуток невизначеності енергії частинки та часу перебування частинки у стані з такою енергією, не може бути меншим за постійну Планка:

 

V. III. Принципові положення квантової механіки

1. Для опису мікрооб'єктів Н. Бор сформулював у 1927 році принципове положення квантової механіки - принцип додатковості: одержання експериментальних даних про якісь одні фізичні величини, які описують мікрооб'єкт (елементарну частинку, атом, молекулу), відповідно пов'язане з втратою даних про деякі інші фізичні величини, які є додатковими до перших.

2. Стан системи мікрочастинок, визначений у квантовій механіці, однозначно випливає з попереднього стану, як того вимагає принцип причинності: у квантовій механіці стан мікрооб'єкта цілком визначається хвильовою функцією. Задання хвильової функції для даного моменту часу визначає її значення в наступні моменти.

3. Принцип відповідності Бора (1923р.): усяка нова, більш загальна теорія, яка є розвитком класичної, не спростовує її цілком, вказуючи границі її застосування, причому у для граничних випадків відбувається перехід нової теорії у стару.