4. Показники
варіації
4.1. Показники
варіації і способи їх обчислення.
Показники варіації необхідні для:
1) доповнення середніх величин за якими скриваються індивідуальні
відмінності;
2) для характеристики
ступеня одноманітності статистичних сукупностей;
3) взаємозв’язок
між явищами може бути охарактеризоване показникам варіації.
Види показників:
– розмах варіації:
,
де Хmax
, Хmin
– максимальний та мінімальний значення показника у сукупності.
Розмах варіації характеризує відхилення між максимальним і
мінімальним значенням варіюючої ознаки.
– середнє лінійне відхилення, яке
застосовується у двох формах: простій і зваженій:
;
.
Середнє лінійне відхилення величина іменована і має таку ж саму
одиницю виміру, як і сукупність та трактується так: в середньому величина
ознаки відхиляється на величину середнього лінійного відхилення від середнього
значення ознаки.
– середній квадрат відхилень (дисперсія),
яке застосовується у двох формах: простій і зваженій:
;
.
Дисперсія одиниці вимірювання не має і якщо дві сукупності є співставними,
то більш одноманітною вважається та сукупність в якої дисперсія менша.
– середнє квадратичне відхилення, яке застосовується у двох формах:
простій і зваженій:
;
.
Середнє квадратичне відхилення це величина іменована і трактується
так само, як середнє лінійне відхилення.
– коефіцієнт варіації:
.
Коефіцієнт варіації характеризує одноманітність сукупності та
ступінь надійності обчислення середніх величин.
Якщо v менше або рівне 10%, то сукупність вважають
одноманітною, а середні показники, які пораховані на її основі
репрезентативними.
Якщо v менше або рівне 30%, то варіацію ознаки у сукупності
вважають середньою, а показники, які пораховані на її основі мають середній
ступінь надійності.
Якщо v більше 30%,
то сукупність вважають неодноманітною, а показники, які пораховані на її основі
не репрезентативними.
Використовуючи математичні властивості дисперсії, для розрахунку
можна використовувати метод моментів другого порядку або відліку від умовного
нуля:
.
За умови, що та
, отримаємо спрощену формулу для обчислення загальної
дисперсії, яка має вигляд:
.
4.2. Дисперсія
альтернативної ознаки.
Альтернативна ознака це ознака, яка приймає два значення, тобто
наявність одного значення виключає появу іншого. Для розгляду цього питання
введемо такі умовні позначення:
Значення альтернативної ознаки |
Кількісне значення альтернативної ознаки, х |
Частота ознаки, f |
Так |
1 |
p |
Ні |
0 |
q |
|
|
1 |
Для обчислення дисперсії альтернативної
ознаки використаємо формулу:
.
Знайдемо середнє значення альтернативної ознаки, застосувавши
формулу зваженої середньої арифметичної величини:
.
Тоді, дисперсія альтернативної ознаки буде дорівнювати:
.
Отже, дисперсія альтернативної ознаки буде дорівнювати добутку
частоти появи її значень.
4.3. Дисперсія
згрупованих даних.
Для згрупованих даних можна порахувати такі види дисперсії:
– внутрішньо-групова дисперсія, яка застосовується у двох формах:
простій і зваженій:
,
де – середнє значення результативної ознаки в кожній групі,
.
Характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок всіх
факторів разом взятих, крім групувального.
Та група, в якій внутрішньо групова дисперсія найбільша, підлягає
найбільшому впливу всіх факторів крім групової.
– середня з внутрішньо групових дисперсій,
яка характеризує варіацію показника під впливом усіх чинників, які впливають на
показник, крім чинника покладеного в основу групування і застосовується у двох
формах: простій і зваженій:
– міжгрупова дисперсія, яка характеризує
варіацію показника чинника покладеного в основу групування і застосовується у
двох формах: простій і зваженій:
.
.
Доведено, що – правило додавання
дисперсії.
Для економічної інтерпретації вищепорахованих
дисперсій використовують:
– коефіцієнт детермінації:
.
Це означає, що варіація середньої успішності була 33% обумовлена
пропусками занять, а 67% вплив всіх інших факторів.
– кореляційне відношення, або індекс
кореляції:
.
Корінь може мати знак «+»чи «–». Знак кореляційного відхилення
вибирають візуально на основі аналізу результатів групування, при цьому, якщо
зв’язок прямий, то знак «+», якщо обернений –»–».
Якщо кореляційне відношення , то зв’язок між фактором і результативною ознакою вважають
сильним, суттєвим.
Якщо кореляційне відношення та
, то зв’язок між фактором і результативною ознакою вважають
середнім, а в протилежному випадку (
) – слабким.