3. Середні величини

3.1. Суть середніх величин. Середня арифметична та її властивості.

Серед узагальнюючих показників, якими статистика характеризує суспільні явища та властиві їм закономірності, важлива роль належить середнім величинам. Досліджувані статистикою суспільні явища, як правило мають масовий характер, а розміри тієї чи іншої ознаки окремих одиниць статистичної сукупності – різне кількісне значення, тобто їм властива мінливість. Мінливість ознак статистичної сукупності залежить від конкретних умов і чинників, які впливають на ту чи іншу ознаку. Варіація ознак є тією причиною, яка зумовлює необхідність вдаватися до розрахунку середніх величин. В тому випадку (а він практично неможливий в реальних умовах), коли б тій чи іншій ознаці не була властива мінливість, то відпала 6 потреба вдаватися до визначення середньої, бо будь-яке значення будь-яке значення окремої одиниці було б властиве всім іншим. Так, наприклад, для характеристики такої статистичної сукупності, як урожайність зернових вдаються до середньої тому, що на окремих полях і ділянках посіву під впливом різних чинників врожайність неоднакова. Таким чинником є природна родючість ґрунту, система удобрення, сорти, терміни посіву тощо.

Узагальнюючу характеристику рівня врожайності можна дати тільки у вигляді середньої.

Одним із важливих принципів наукового застосування середніх величин є їх обчислення на основі достатньої чисельної сукупності одиниць.

Середні застосовуються для дослідження якісно однорідних явищ. Середня – одна з найважливіших категорій, які широко використовуються в економіці, бухгалтерському обліку, аналізі, планово-аналітичній роботі. До обчислення середніх величин вдаються при використанні багатьох статистичних методів: аналізі результатів зведення і групування, дослідження рядів динаміки, індексного аналізу, показників варіації, вибіркового методу тощо.

Середні величини – це показники, які відображають типові риси і дають узагальнюючу кількісну характеристику рівня варіюючої ознаки.

Вимоги, які ставляться при розрахунку середніх величин:

1) середня величина повинна розраховуватися на основі однорідних, однотипних одиниць сукупності;

2) правильний вбір одиниці сукупності в розрахунках на яку проводимо розрахунок середньої;

3) якщо розрахунок середньої величини проводиться не по всій сукупності, а по її частині, то для того щоб середня величина достатньо точно характеризувала досліджувану сукупність потрібно відібрати від 20 до 30 одиниць.

У статистиці застосовують різні види середніх величин.

Найпростішим і найчастіше вживаним видом середніх величин є середня арифметична величина.

Умовні позначення:

х – варіанти (окремі значення ознаки, яка усереднюється);

F – вага, частка (показує скільки разів та чи інша величина х зустрічається в сукупності).

Середня арифметична застосовується у двох формах: простій і зваженій.

Середня арифметична проста використовується для незгрупованих даних, тобто коли всі частоти рівні 1 або, коли частоти однакові (коли частот немає або їх дуже важко визначити; коли частота несуттєво відрізняється одна від одної). Середня арифметична проста обчислюється за формулою:

Середня арифметична зважена використовується для згрупованих даних, при цьому в інтервальних варіаційних рядах в якості х виступають середини інтервалів.

Властивості середньої арифметичної:

1) якщо всі варіанти х збільшити чи зменшити на величину а, то середня збільшиться або зменшиться теж на величину а;

2) якщо всі х збільшити чи зменшити в k раз, то й середня збільшиться чи зменшиться теж в k раз;

3) якщо всі частоти збільшити чи зменшити в k разів, то середня не зміниться;

4) величина середньої арифметичної залежить не від самих абсолютних значень окремих варіант і ваг, а від пропорцій між ними;

5) середня величина, помножена на суму частот, дорівнює сумі добутків кожної варіанти на її частоту:

;

6) сума відхилень індивідуальних значень від їх середньої арифметичної величини рівна нулю:

;

7) квадрат суми відхилень індивідуальних значень х від середнього завжди менша чим сума відхилень від будь-якої іншої величини:

Використовуючи властивості середньої арифметичної її можна порахувати спрощено, методом моментів або метод відліку від умовного 0. Ця формула використовується лише для варіаційних рядів з рівними інтервалами:

де – величина інтервалу;

а – значення варіанти х, яка займає середнє положення у варіаційному ряді.

3.2. Середня гармонійна та інші види середніх.

Середня гармонійна використовується тоді, коли є дані про загальний обсяг та індивідуальні значення ознаки, а відомостей про кількість одиниць досліджуваного явища немає.

Середня гармонійна застосовується у двох формах: простій і зваженій.

Середня гармонійна проста обчислюється за формулою:

Середня гармонійна зважена обчислюється за формулою:

Крім того, застосовуються середня прогресивна, середня геометрична, середня квадратична та інші.

Середня прогресивна розраховується не по всій сукупності в цілому, а лише по її кращій частині. Порядок розрахунку її такий:

– розраховується загальна середня;

– вибираються варіанти, які є кращими в порівнянні з середньою;

– на основі відібраних одиниць сукупності розраховується середня.

Середня геометрична величина використовується для визначення середніх темпів зростання і обчислюється за формулою:

де х_і – темпи зростання, що розраховуються відносно попереднього періоду.

Середня квадратична величина широко використовується при вивченні варіації явища.

Середня квадратична проста обчислюється за формулою:

Середня квадратична зважена обчислюється за формулою:

Якщо на основі однієї і тієї ж сукупності порахувати всі попередні види середніх, то вони розташуються таким чином:

Така залежність між середніми називається мажоритарністю середніх і чим більше одноманітна сукупність, тим відмінність між середніми менша, а тому у виключних випадках дозволяється використовувати замість складних видів середньої – середню арифметичну.

Крім того, у деяких випадках використовуються середня степенева величина, середня антигармонійна величина та інші.

3.3. Структурні середні.

У статистиці використовують два особливих види середніх – структурних величин: моду і медіану.

Мода – це варіантна, яка в ряді розподілу зустрічається найчастіше, при цьому в дискретному варіаційному ряді вона знаходиться візуально, а в інтервальному за формулою: