ТЕМА №2

Визначення параметрів закону розподілу результатів спостережень за статистичними критеріями

План

1.   Характеристика статистичних критеріїв визначення закону розподілу результатів спостережень.

2.  Перевірка нормальності розподілу за складеним критерієм.

3.   Визначення точкових оцінок закону розподілу результатів спостережень.

 

1. Характеристика статистичних критеріїв визначення закону розподілу результатів спостережень.

Перевірка гіпотези про можливий вид закону розподілу проводиться за допомогою  спеціально підібраної величини – критерія, який називають критерієм перевірки гіпотези про можливий закон невідомого розподілу.

Серед найбільш відомих критеріїв відомі критерій Пірсона, Мізеса-Смірнова, Колмогорова та складений критерій.

Обмежимся розглядом складеного критерію, що застосовується в метрологічний практиці, для перевірки гіпотези про нормальність розподілу генеральної сукупності.

2. Перевірка нормальності розподілу за складеним критерієм.

При малих об’ємах вибірки 10<n<50 для перевірки відповідності сумісності дослідного розподілу з нормальним застосовується складений критерій . Складений критерій  рекомендований при прямих вимірюваннях з багаторазовими спостереженнями. При перевірці задаються рівнем значимості  (для критерія І) та  (для критерію II). Рівень значимості складеного критерію повинні задовольняти умові:

-      Гіпотеза про узгодженість дослідного розподілу з теоретичним нормальним перевіряється наступним чином:

-      1) перевіряємо виконання критерію І. Для цього визначається значення  за формулою:

                                         (1)

де - зміщена оцінка СКВ результату спостережень, знайдена за формулою:

                                                                                         (2)

Нульова гіпотеза про приналежність до нормального розподілу справедлива, якщо виконується умова:

                                                                                            (3)

де:   - квантилі розподілу, які являють числові характеристики, що широко використовуються в математичній статистиці.

Перевірка по критерію ІІ.

Гіпотеза про нормальність розподілу підтверджується, якщо не більше m різниць  перевищують значення .

Незміщена оцінка СКВ результату спостережень S визначається за формулою:

                                                                                   (4)

Верхній квантиль інтегральної функції розподілу Лапласа , що відповідає ймовірності  знаходиться за табл. 1.

Таблиця 1 

Квантилі  розподілу Лапласа.

 

Задаються рівнем значимості  і для відомого значення параметра n з таблиці 2 знаходять відповідне значення Р та m.

Результуючий рівень значимості складеного критерію  рівний:

У випадку, якщо один з критеріїв не виконується, то вважають, що розподіл досліджуваної сукупності результатів вимірювань не відповідає нормальному закону.

 

Таблиця 2

Квантилі розподілу статистики d

 

 

Таблиця 3

Значення m та Р, які відповідаються значенням n та q

 

Приклад. Розглянемо приклад оцінки закону розподілу за допомогою складеного критерію . Дані результати багаторазових спостережень (n=40) тиску в системі, які представлені після групування в таблиці 4. Необхідно перевірити приналежність дослідного розподілу до нормального за допомогою складеного критерію при рівні значимості . (

 

 

Таблиця 4

Результати вимірювання тиску масла

Визначаєм вибіркове середньоарифметичне, незміщену S та зміщену  оцінку СКВ.

-        

Перевіряємо сумісність по критерію І. Для цього визначаєм значення  за формулою 1.

При:  

       

з таблиця 2 знаходимо квантилі розподілу .

Гіпотеза про нормальність розподілу по критерію І при вибраному рівні значимості підтверджується, оскільки:

або:

Перевіряємо сумісність по критерію ІІ. По таблиці 1 та 3 знаходимо значення m=2; Р=0,99; =2,58.

Далі знаходимо добуток ·S  та порівнюємо його з максимальним відхиленням. Гіпотеза про приналежність до нормального закону розподілу по критерію ІІ справедлива, оскільки у вибірці немає жодної різниці, яка перевищує значення добутку ·S:

Таким чином, гіпотеза про приналежність дослідного закону розподілу до нормального підтверджується при прийнятому рівні значимості

Оцінку середньоквадратичного середнього значення визначаєм за формулою:

                                          

                                                   

Питання для самоконтролю

1. Дайте визначення фізичної величини.

2. Що таке розмір фізичної величини?

3. Які закони розподілу фізичної величини Вам відомі?

4. Які критерії визначення закону розподілу фізичних величин Вам відомі?

5. Наведіть порядок визначення виду закону розподілу фізичної величини за складеним критерієм?