Практичне заняття №1

Тема: Визначення розмірностей похідних фізичних величин

Мета: Ознайомитись з різновидами фізичних величин та навчитись

проводити визначення розмірностей похідних величин

Теоретичні відомості

Поняття фізичної величини – це найзагальніше поняття у метрології. Під фізичною величиною слід розуміти властивість, спільну в якісному відношенні для багатьох матеріальних об'єктів та індивідуальну в кількісному відношенні для кожного з них. Так, усі об'єкти мають масу і температуру, проте для кожного окремого об'єкта як маса, так і температура різні та конкретні за певних обставин. Розглядаючи електричну схему, можна сказати, що по всіх гілках проходить струм, але у кожній гілці він різний за величиною. Для встановлення різниці за кількісним вмістом властивостей у кожному об'єкті вводиться поняття "розмір фізичної величини" під яким розуміють кількісний вміст фізичної величини в досліджуваному об’єкті.

Одиниця фізичної величини – фізична величина певного розміру, прийнята для кількісного відображення однорідних з нею величин.

За характером взаємозалежності фізичні величини поділяються на основні і похідні. Сукупність вибраних основних і похідних величин називається системою величин. Наприклад: Міжнародна система СІ (7 основних, 2.додаткових та багато видів похідних одиниць).

Розмірність основної фізичної величини – умовний символ фізичної величини в даній системі величин.

Розмірність похідної величини – добуток розмірностей основних величин, піднесених до відповідних степенів, наприклад, розмірність швидкості V в системі величин L, М, Т буде V = LT.

Розмірнісна фізична величина – величина, розмірність хоча б однієї з основних величин якої піднесена до степеня, що не дорівнює нулю;

Безрозмірнісна фізична величина – величина, в розмірності якої всі степені розмірностей основних величин дорівнюють нулю.

Основна одиниця системи одиниць – одиниця основної фізичної величини в певній системі одиниць (наприклад: маса – 1 кг, довжина – 1 м).

Похідна одиниця системи одиниць – одиниця похідної фізичної величини в певній системі одиниць (наприклад: прискорення, м/с²).

Позасистемна одиниця фізичної величини – одиниця фізичної величини, що не належить до даної системи одиниць.

Кратна одиниця фізичної величини – одиниця фізичної величини, яка в ціле число разів більша за одиницю, від якої вона утворюється.

Частинна одиниця фізичної величини – одиниця, яка в ціле число разів менша за одиницю, від якої її утворено.

Однорідні фізичні величини – величини, які можна порівнювати між собою кількісно.

Символ фізичної величини – умовний знак, прийнятий для позначення фізичних величин одного роду.

Позначення одиниці фізичної величини – умовна абривіатура з літер, які входять до назви одиниці, або спеціальних знаків.

Розмірності фізичних величин. Розмірність (dimension) основної величини – це її позначення L, M, T, I, Q, N, J, і т.д., а розмірність похідної величини – вираз, що описує її зв'язок з основними величинами системи і становить добуток розмірностей основних величин, піднесених до відповідних степенів. Наприклад, розмірність величини Х в системі трьох основних величин LMT:

dim X = L^aM^bT^g

де a, b, g – показники розмірності, які є цілими числами.

Величина, в розмірності якої хоча б один показник розмірності не дорівнює нулю, є розмірною величиною, а величина в розмірності якої всі показники розмірності дорівнюють нулю, – безрозмірною величиною. Величина, безрозмірна в одній системі, може бути розмірна в іншій. В певній системі величин розмірність кожної величини однозначна, але є різні за природою величини, які мають однакову розмірність, наприклад – енергія та робота. Тому розрізняють фізичну однорідність і розмірну однорідність фізичної величини (ФВ).

Операції над розмірностями виконуються за правилами алгебри. Наприклад, якщо величина Z є функцією величин X i Y, тобто:

Z = f (X, Y), причому:

dim X = L^aM^bT^g і dim Y = L^kM^lT^m то

dim Z = f(L^aM^bT^g, L^kM^lT^m).

Зокрема, якщо:

Z = XY, то dim Z = L^a⁺^kM^b⁺^lT^g⁺^m;

Z = X/Y, то dim Z = L^a^-^kM^b^-^lT^g^-^m;

Z = (X/Y)ⁿ, то dim Z = L⁽^a^-^k⁾ⁿM⁽^b^-^l⁾ⁿT⁽^g^-^m⁾ⁿ.

З цих прикладів видно, що внаслідок множення і ділення величин виникають нові величини, у яких свої розмірності і свої одиниці. Їх можна знайти в спеціальних таблицях і нема необхідності всі запам'ятовувати, а простіше отримати на підставі відомих рівнянь зв'язку між величинами. Деякі розмірності корисно запам'ятати, наприклад розмірність сили та енергії:

dim F = LMT^-2, dim E = L²MT^-2.

Тепер, якщо треба знайти розмірність напруги U, то, враховуючи, що потужність: P = E/T= UI.

Знаходимо: dim U = dim P/I = dim E/TI = L²MT^-3I^-1.

Розмірності ФВ є одночасно і розмірностями їх одиниць. Рівняння зв'язку між величинами використовуються для утворення когерентних похідних одиниць. Якщо рівняння зв'язку має коефіцієнт, який не дорівнює 1, то в праву його частину підставляють такі значення величин в одиницях даної когерентної системи, щоб їх добуток з коефіцієнтом рівняння дорівнював 1.

Наприклад, якщо для утворення одиниці енергії використовується рівняння Е = 1/2 mv² то її когерентна одиниця в системі SI буде:

dim E = [E] = 1/2 (2 [m] [v]²) = 1/2 (2 кг) (1м/c)² = кг м² с² = Дж.

Отже, одиницею енергії в СІ є джоуль, який дорівнює кінетичній енергії тіла масою 2 кг, що рухається з швидкістю 1 м/с.

Розмірність є якісною характеристикою ФВ. Вона відображає її зв'язок з основними ФВ, і залежить від вибору цих величин. М. Планк стверджував, що питання про істинну розмірність будь-якої величини "має не більше сенсу, ніж питання про істинну назву якого-небудь предмету". По цій причині в гуманітарних науках, мистецтві, спорті, кваліметрії, де номенклатура основних величин не визначена, теорія розмірностей не знаходить поки ефективного застосування. В технічних або точних науках (фізиці, метрології) навпаки, методами теорії розмірності часто вдається отримати важливі самостійні результати. Формальне застосування алгебри розмірностей інколи дає можливість визначити невідому залежність між ФВ.

Приклад: в результаті спостережень встановлено, що при русі по колу сила F, що притискає тіло до опори, певним чином залежить від його швидкості v, маси m і радіуса кола r тобто F = m^av^br^g. Який вигляд цієї залежності.

Розв'язок. На основі алгебраїчних залежностей:

dim F = dim^am dim^bv dim^gr.

Нам відомо, що:

dim F = LMT^-2; dim m = M; dim v = LT^-1; dim r = L.

Звідси:

LMT^-2 = M^a(LT^-1)^bL^g = L^b⁺^g M^a T^-^b.

Отже, показники розмірності задовольняють рівняння:

b + g = 1; a = 1; -b = -2.

Вирішуючи цю систему рівнянь, отримуємо a = 1; b = 2; g = -1.

Таким чином:

F = mv²/r.

Теорія розмірностей має широке застосування для оперативної перевірки правильності складних формул. Якщо розмірність лівої та правої частин не співпадають, то в виводі формули, до якої галузі знань вона не відносилась би, слід шукати помилку.

Кратні та частинні одиниці. Найпрогресивнішим способом утворення кратних та частинних одиниць є прийнята у метричній системі мір десяткова кратність між великими і малими одиницями. Десяткові кратні та частинні одиниці від одиниць СІ утворюються шляхом використання множників та приставок (додаток 1 та 2).

Правила утворення кратних та часткових одиниць. Назви всіх префіксів, якщо вони не починають речення, завжди пишуться з рядкової букви. Позначення кратних префіксів, крім кіло, гекто, дека, пишуться з великої букви, позначення всіх часткових префіксів завжди пишуться з рядкової букви.

Префікс пишеться разом з назвою базової одиниці та утворює з нею одне слово. Так наприклад, міліметр, мегават, мікрофарад – це все одні слова.

Використання двох або більше префіксів підряд не дозволяється. Наприклад, величину фарад необхідно позначати нанофарад, а не, наприклад, мікроміліфарад.

Приєднанням префіксу до одиниці утворюється нова нерозривна одиниця. Ця нова одиниця може бути зведена до позитивного або негативного ступеня та/або об'єднана з іншими одиницями для утворення складених одиниць.

Наприклад:

2.54 см³ = 2.54 (см)³ = 2.54 (10 ̵ ² м) ³ = 2.54·10 ̵ ² м³.

1 см ̵ ¹= 1 (см) ̵ ¹ = 1 (10 ̵ ² м) ̵ ¹ = 10² м ̵ ¹ = 100 м ̵ ¹.

1 В/см = (1 В)/( 10 ̵ ² м) = 10² В/м = 100 В/м.

Завдання на практичну роботу

Завдання 1. В технічному журналі Ви зустріли наступні позначення: , ККД. Розшифруйте їх.

Завдання 2. Напишіть формули розмірності, виразіть через основні та додаткові одиниці системи СІ та наведіть найменування наступних електричних величин:

1) лінійної частоти; 2) кількості електрики; 3) електричної напруги;

4) електричного опору;

Приклад розв’язку:

1) ,- герц;