Тема 2. Основні поняття теорії ігор.

1.     Поняття про теорію ігор.

2.     Основні поняття теорії ігор.

3.     Виникнення теорії ігор. Основоположники теорії ігор.

4.     Сфера застосування теорії ігор.

5.     Класифікація ігор

6.     Основні поняття теорії ігор.

7.     Етапи формулювання задачі в ігровій обстановці.

8.     Поєднання раціонального та ірраціонального у поведінці гравців

1.   Поняття про теорію ігор.

Існує багато різних визначень того, що таке є теорія ігор (game theory).

«Теорія ігор – теорія раціональної поведінки людей з неспівпадаючими інтересами» (Aumann R.J.)

«Теорія ігор – наука про стратегічне мислення» (Dixit A., Nalebuff B.)

«Теорія ігор – теорія математичних моделей для прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту» (Васильев В.А.)

«Теорія ігор – розділ прикладної математики, який досліджує моделі прийняття рішень в умовах неспівпадіння інтересів сторін (гравців)» (Губко М.В., Новиков Д.А.)

«Теорія ігор – математичний апарат для моделювання узгодження інтересів сторін».

Для умов економічного застосування: «Суть теорії ігор полягає в тому, щоб допомогти економістам зрозуміти та передбачити те, що буде діятися в економічному інтер’єрі (економічному контексті)» (Губко М.В., Новиков Д.А.)

Отже, теорія ігор досліджує процеси ухвалення рішень у складних ситуаціях.

2.     Основні поняття теорії ігор.

Для визначення гри потрібно задати гравців (хто власне буде ухвалювати рішення), описати їх можливі дії, визначити всі можливі наслідки дій гравців та задати на них функцію виграшу. Власне гра виникає коли виграші одного гравця залежать від дій інших. Важливою, також, є наявна у гравців інформація, оскільки вона впливає на стратегії гравців. Стратегією гравця називається правило, яке дозволяє вибрати для кожної позиції гри і наявної в цей момент інформації – дію.

Наприклад, відома всім гра у камінь-ножиці-бумагу є предметом дослідження теорії ігор, оскільки в ній є гравці, відомі їх дії (вибір одного з трьох варіантів) та виграші (які залежать від дій інших). При цьому стратегія може бути фіксована – завжди грати камінь (багато ви нею не виграєте), або ймовірністна – вибирати з рівною ймовірністю з усіх варіантів (ця стратегія є рівновагою Неша для даної гри).

Теорія ігор в економіці аналізує прийняття рішень економічними суб'єктами, яких називають, за традицією, гравцями, у ситуаціях, коли на результати цих рішень впливають дії інших економічних суб'єктів. Такі ситуації заведено називати іграми.

У свою чергу, гравець – це просто термін, який зручний для проведення аналогії ситуації, що вивчається, з салонною грою з чітко описаними правилами. 
Кожен гравець має певну свободу вибору дій. Своїми діями гравець впливає не лише на свій результат, а й на результати решти. Результат оцінюється функцією виграшу, заданою для кожного гравця. Вважається, що ціль гравця – максимізувати свій виграш.
Визначення. Гра – математична модель конфліктної ситуації.
Визначення. Хід у грі – вибір та здійснення гравцем однієї з передбачених правилами гри дій.
Визначення. Стратегія – послідовність усіх ходів до закінчення гри.

Таким чином, якщо ми визначаємо гравців, набір їхніх можливих ходів, тобто стратегії, і задаємо певний виграш та умови, за яких один виграє, а інший – програє, ми перетворюємо ситуацію на об’єкт дослідження теорії ігор. Ці три компоненти критичні для визначення моделі цієї теорії.

3.     Виникнення теорії ігор. Основоположники теорії ігор.

Теорія ігор виникла у 40-50-х роках 20 століття.

Творцем теорії ігор вважається вчений угорського походження Джон фон Нейман.

Фон Нейман придумав метод мінімаксу, який дозволяв розв’язувати ігри з нульовою сумою, де один гравець обов’язково виграє, а інший – програє. Класичний приклад – «Камінь, ножиці, папір».

Але ігри з нульовою сумою – це досить обмежений клас ігор, а для інших метод фон Неймана не працював.

І тоді з’явився Джон Неш. Він запропонував ідею рівноваги Неша – таку точку в грі (набір стратегій), в якій жоден гравець не може покращити свій виграш, одноосібно змінивши свою стратегію. У ситуації рівноваги при зміні стратегії виграш зменшується, а отже, у гравця немає раціональних причин її змінювати.

Рівновага Неша створювалася для некооперативних ігор. Це однораундові ігри, у яких ви одночасно з іншим гравцем обираєте якесь рішення.

4.     Сфера застосування теорії ігор.

Теорія ігор спочатку застосовувалася в економіці і була спрямована на розв’язок задач щодо прийняття рішень у конкурентній економіці. У наукових працях містились переважно економічні приклади, економічні конфліктні ситуації. Економіка – це гра багатьох гравців, чиї стратегії ми приблизно знаємо, і в цій грі, звичайно, є рівновага Неша. Раціональні гравці завжди гратимуть ту стратегію, яка приведе до рівноваги Неша, бо це вигідно. Таким чином, ми можемо передбачити поведінку людей у складних ситуаціях.

З часу другої світової війни теорія ігор серйозно зацікавила військових, які наявний математичний апарат застосували для аналізу військових стратегій.

Згодом теорію ігор почали використовувати і соціальні науки, оскільки вченим було цікаво, як і на основі чого люди приймають рішення. Може йтися не лише про людей, а й про тварин чи комп’ютерні програми, які приймають рішення.

Поступово фокус змістився в біологію. Виявилося, що тварини в різних ситуаціях також грають в ігри. Їхні стратегії – це дії, спрямовані на виживання, а їхня винагорода – це власне виживання в природі. Деякі поведінкові стратегії навіть на генетичному рівні можна описати за допомогою моделей теорії ігор.

В даний час ТІ продовжує інтенсивний розвиток як власне математична теорія, і у сфері докладання у різних областях. Вона застосовується в економіці, фінансах, бізнесі, страхуванні, маркетингу, менеджменті, в теорії інновацій, в управлінні організаційними та еколого-економічними системами, в організації досліджень, у завданнях розпізнавання, у психології та медицині, у військовій справі та флоті, у соціології та політиці.
 

5.     Класифікація ігор.

Ігри класифікують за різними ознаками:

1.За кількістю ігор:

-         разові;

-         серійні.

2.За кількістю гравців:

-         парні – ігри двох гравців;

-         множинні – мають понад два гравці.

3.За кількістю ходів:

-         одноходові – кожен гравець робить тільки один вибір з можливих варіантів і після цього встановлює результат гри;

-         багатоходові (позиційні) – така гра розвивається в часі, представляючи собою ряд послідовних етапів, кожен з яких настає після ходу одного з гравців і відповідної зміни обстановки.

4.За кількістю стратегій:

-         скінченні – кожен з гравців має скінченну кількість можливих стратегій;

-         нескінченні – принаймні один з гравців має безліч можливих стратегій.

5.За інтересами гравців:

-         антагоністичні – в таких іграх інтереси її учасників прямо протилежні (наприклад, спортивні змагання, військові дії). У цих умовах кожен гравець прагне забезпечити собі максимальний виграш, а супротивникові максимальний програш. Це призводить до того, що виграш одного гравця відповідає програшу іншого, Тому можна вважати, що сумарний виграш обох гравців антагоністичної гри в усіх ситуаціях дорівнює нулю. Звідси ці ігри іноді називають іграми з нульовою сумою або нульовими іграми;

-         неантагоністичні – в таких іграх гравці переслідують різні, але не прямо протилежні цілі (наприклад, економічні ситуації).

6.За взаємодією (взаємовідносинами) гравців:

-         безкоаліційні – якщо гравці не мають права укласти угоду;

-         коаліційні – якщо гравці можуть укладати угоду, вступати до коаліції.

7.За джерелами невизначеності:

-         комбінаторні (шахи) – коли особливості правил гри викликають таку різноманітність її розвитку, що передбачити результат гри заздалегідь неможливо

-         азартні (гра в кості, ставка на бік монети, рулетка) – коли результат гри є невизначеним виключно внаслідок випадкових причин

-         стратегічні – коли відсутня інформація про дії противника, його стратегію.

8.За функцією виграшів: матричні; біматричні; неперервні; опуклі;статистичні; сепарабельні; типу дуелей.

9.За кількісним результатом:

-         з нульовою сумою – коли виграш одного гравця дорівнює програшу другого. Такі ігри об'єктивно не надають перевагу жодній з сторін. Якщо така перевага з'являється у процесі гри у однієї з сторін, то тільки за рахунок занедбання іншої (у спорті);

-         з ненульовою сумою - конфліктні ситуації з явно об'єктивною перевагою якоїсь з сторін. (наприклад, виробник і споживач при встановленні ціни виробу).

6.     Етапи формулювання задачі в ігровій обстановці

Для формулювання задачі в ігровій постановці необхідно реалізувати певні етапи:

Етап 1. Визначення учасників гри (гравців). На цьому етапі слід проаналізувати умову задачі і визначити учасників гри, визначити суть конфлікту, що є між ними.

Етап 2. Визначення стратегій гравців. На цьому етапі слід визначити стратегій гравців. Для цього необхідно сформулювати кінцеві цілі гравців і знайти шляхи їх досягнення.

Етап 3. Визначення виграшів гравців при використанні кожної стратегії. Виграші обов'язково повинні мати кількісну форму. Виграші є показниками ступеня досягнення цілей відповідного гравця. Виграші визначаються при сполученні різних стратегій гравців.

Етап 4. Зведення матриці виграшів до нормальної форми. Зведення здійснюється шляхом внесення знайдених значень виграшів в матрицю.

Оптимальна стратегія – це стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш або мінімальний програш.

Кінцевою цілю теорії ігор є розробка рекомендацій гравцям, щоб гравець, що виграє, одержав би максимальний виграш, а гравець, що програє, - мінімальний програш, тобто визначення оптимальної стратегії.

7.   Поєднання раціонального та ірраціонального у поведінці гравців.

У часи створення теорії ігор комп’ютерних ігор ще не було. Тому такою назвою теорія зобов’язана салонним іграм. Таким, як шахи та карти. Спеціалісти з теорії ігор не дуже люблять цю назву, їм більше подобається «Стратегічна взаємодія раціональних гравців».

«Стратегічна», бо гравці думають наперед, як їм діяти, щоб отримати найбільший виграш. Раціональність означає, що у кожного гравця задана функція, яку він прагне максимізувати.

Завдання гравця: отримати в кінці гри найкращий результат.

Теорія ігор за замовчуванням вважає, що гравці діють узгоджено зі своєю функцією корисності.

Однак теорія ігор не уникла і критики.

Першим пунктом критики є те, що теорія ігор вважає людей раціональними гравцями. У житті досить часто трапляються ситуації, коли людина не максимізує функцію виграшу. На людину можуть впливати культурні та соціальні особливості, можуть – прості звички. Вона тоді не думає, наскільки її стратегія узгоджена з бажаним результатом, а поводить себе так, як від неї очікує суспільство.

Найцікавіші задачі виникають, коли теорія ігор не збігається з практикою. Це одразу дає поштовх для дослідження.

Гра «ультиматум», у ході якої один гравець пропонує якусь частину загальної суми іншому гравцеві, а той приймає чи відхиляє пропозицію (найпростіший вид переговорів), дала поштовх для розвитку поведінкової економіки.

Якщо другий гравець є раціональним, то він згодиться на поділ 99 доларів іншому гравцеві і 1 долар собі, оскільки 1 долар – це краще, ніж нічого.

В реальності дуже багато хто відхиляє пропозиції, менші за 30%. Це означає, що функція корисності не зводиться лише до грошей, а містить ще й справедливість, наприклад.

Коли гру «ультиматум» вирішили перевірити на диких племенах, то поведінка племені із Перу більш відповідала передбаченню теорії ігор, ніж поведінка студентів Массачусетського технологічного інституту.

Можливо, для них ці гроші були важливішими, і відмовлятися від них, заради якоїсь там справедливості, вони вважали недоцільним.

Є ще узагальнення гри «ультиматум» – «диктатор».

Умови цієї гри відрізняються тим, що у другого гравця відсутнє право затвердження або відхилення пропозиції першого.

Перший гравець ділить суму самостійно і ставить другого перед фактом.

Фактично перші гравці мають право забрати собі усю суму, проте майже усі схильні ділити приблизно 70/30.

Ці 30% люди віддають, щоб почувати себе справедливими, справедливість входить в поняття корисності для них.

З позиції теорії ігор підприємець – це передусім гравець. І саме як гравець він і є підприємцем, тобто людиною, для якої ризик в прагненні отримати чисельно більший виграш стає однією з найважливіших характеристик його специфічною професії. При цьому, якщо розуміти під раціональністю підприємця-гравця прагнення до максимізації прибутку-виграшу, в процесі досягнення результату гравець-підприємець часто буває ірраціональним або об'єктивно, або з позицій індивіда і суспільства, або і те, і інше, і навіть третє.
З позиції теорії ігор розрізняють індивідуальну, групову і суспільну раціональність.
Раціональність індивіда оцінюється тим, як він поводить себе в грі незалежно від інших гравців. 
Раціональність групи виражається в тому, наскільки більше може виграти коаліція в цілому порівняно з тим, що може отримати кожний її учасник, діючи індивідуально.
Раціональність суспільства в цілому виражається загальною вигодою, яку воно може отримати.