Тема 3. Елементи матричної алгебри.

1.     Поняття про матрицю.

2.     Види матриць.

3.     Операції над матрицями.

4.     Використання математичних функцій програми Microsoft Excel для виконання операцій над матрицями.

 

1.   Поняття про матрицю.

Матриця – математичний об’єкт, який записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел, який містить рядки і стовпчики, на перетині яких знаходяться елементи.

Матриці позначають великими латинськими літерами (А, В, С і т.д.).

Якщо матриця містить m рядків і n стовпчиків, її розмірність mxn.

Елементи матриці обрамляють круглими дужками:

 

а11

а12

…

а1n

a21

a22

…

a2n

…

…

…

…

am1

am2

…

amn

 

Елемент матриці aij лежить на перетині i-го рядка та j-го стовпчика.  

 

2.   Види матриць.

Залежно від розмірності та вмісту матриці поділяють на такі види:

1)  Квадратні (які мають однакову кількість рядків і стовпчиків) і прямокутні.

А – квадратна матриця розмірності 3х3:

 

 

2

5

-1

А

0

4

10

 

8

-5

7

 

В – прямокутна матриця розмірності 3х5:

 

 

8

4

6

2

7

В

-3

5

0

12

0

 

1

19

-9

-4

-1

 

2)  Діагональна матриця – квадратна матриця, діагональні елементи якої будь-які числа, а інші елементи – нулі.

С – діагональна матриця розмірності 4х4:

 

1

0

0

0

С

0

5

0

0

 

0

0

13

0

 

0

0

0

7

 

3)  Одинична матриця – це квадратна матриця, діагональні елементи якої рівні одиниці, а інші елементи – нулі:

D – одинична матриця розмірності 2х2:

 

 

1

0

D

0

1

 

4)  Симетрична матриця – це матриця, елементи якої симетричні відносно головної діагоналі.

Е – симетрична матриця розмірності 4х4:

 

 

2

10

-5

8

Е

10

-4

12

0

 

-5

12

3

4

 

8

0

4

1

 

Є також інші види матриць, зокрема, верхня трикутна, нижня трикутна, унітрикутна.

 

3.   Операції над матрицями.

 

Основними операціями над матрицями є додавання, віднімання, множення, транспонування, знаходження оберненої матриці.

Сумою (різницею) двох матриць однакової розмірності є матриця цієї ж розмірності, елементи якої дорівнюють сумі (різниці) відповідних елементів цих двох матриць:

 


0

4

-7

-10

15

6

8

1

0

6

2

5

+

12

5

14

0

-2

4

3

11

-5

0

-8

14

=

0+12

4+5

-7+14

-10+0

15-2

6+4

8+3

1+11

0+(-5)

6+0

2+(-8)

5+14

=

12

9

7

-10

13

10

11

12

-5

6

-6

19

 

0

4

-7

-10

15

6

8

1

0

6

2

5

-

12

5

14

0

-2

4

3

11

-5

0

-8

14

=

0-12

4-5

-7-14

-10-0

15-(-2)

6-4

8-3

1-11

0-(-5)

6-0

2-(-8)

5-14

=

-12

-1

-21

-10

17

2

5

-10

5

6

10

-9

 

Матрицю помножити на число означає кожен елемент цієї матриці помножити на це число:

3

∙

0

4

-7

-10

15

6

=

3∙0

3∙4

3∙(-7)

3∙(-10)

3∙15

3∙6

=

0

12

-21

-30

45

18

 

Дія множення для матриць можлива в тому випадку, коли кількість стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. При цьому елемент i-го рядка і j-го стовпчика нової матриці дорівнює скалярному добутку i-го рядка першої матриці на j-го стовпчик другої матриці:

 

0

4

-7

-10

15

6

∙

1

4

3

0

-1

5

8

6

-2

7

0

-9

=

10

-29

32

87

-37

77

90

36

Як визначити розмірність результату: (2х3) ∙ (3х4) = (2х4).

Розрахунок елемента 1-го рядка і 2-го стовпчика нової матриці:

0∙4 + 4∙5 + (–7)∙7 = 0 + 20 – 49 = –29.

Транспонована матриця – це матриця, стовпчики якої є рядками початкової матриці, а рядки – стовпчиками початкової матриці. Тобто, транспонування матриці – це впорядкована заміну рядків матриці стовпчиками і навпаки:

 

А=

 

0

4

-7

-10

15

6

 

АТ=

 

0

-10

4

15

-7

6

Якщо розмірність початкової матриці mxn, то розмірність транспонованої матриці nxm.

Обернена матриця – це матриця, при множенні якої на початкову матрицю отримують одиничну матрицю.

 

4.   Використання математичних функцій програми Microsoft Excel для виконання операцій над матрицями.

Для виконання операцій над матрицями зручно використовувати вбудовані функції табличного редактора Microsoft Excel:

MMULT (МУМНОЖ) – множення матриць.

MINVERSE (МОБР) – знаходження оберненої матриці.

TRANSPOSE (ТРАНСП) – транспонування матриць.

MDETERM (МОПРЕД) - знаходження визначника матриці.

При використанні цих функцій слід виконати такі кроки:

-       виділити діапазон відповідної розмірності, в якому буде знаходитись результат (матриця – в перших трьох випадках);

-       поставити знак «=»;

-       вибрати відповідну функцію;

-       ввести у вікні функції відповідні діапазони матриці (матриць);

-       натиснути комбінацію клавіш «Ctrl+Shift+Enter».