ТЕМА 4. ЛІНІЙНІ МОДЕЛІ МНОЖИННОЇ РЕГРЕСІЇ.

1. Поняття про множинну лінійну регресію (МЛР).

2. Побудова та аналіз моделі МЛР.

1. Понятя про множинну лінійну регресію (МЛР).

На будь-який економічний показник Y зазвичай впливає не один, а декілька факторів. В таких випадках маємо справу з множинною лінійною моделлю (регресією), що описує взаємний зв’язок між залежною змінною Y та факторами і яку можна подати у вигляді:

(4.1)

або у векторно-матричній формі:

, (4.2)

; ; ; ,

де – теоретичні коефіцієнти регресії (часткові коефіцієнти) або параметри теоретичної регресії, які характеризують реакцію залежної змінної на зміну кожного регресора ;

– вільний член, який визначає значення показника за умови, коли значення факторів дорівнюють нулю;

– значення -го фактора при і-ому спостереженні;

– випадкові змінні;

– кількість факторів;

– кількість спостережень.

Компоненти вектора є величинами сталими (), але невідомими. Їх необхідно оцінити шляхом обробки вибірки, а тому надалі будемо мати справу із емпіричною моделлю, яка є прообразом теоретичної (4.1), (4.2):

(4.3)

де вектор є статистичною оцінкою теоретичного вектора лінійної множинної регресії (4.2).

Вектор похибок є статистичною оцінкою випадкового вектора цієї ж моделі.

2. Побудова та аналіз моделі МЛР.

Для знаходження значень параметрів множинної лінійної регресії використовують метод найменших квадратів. Оцінку вектора параметрів знаходять за формулою:

. (4.4)

Дії з матрицями зручно виконувати з використанням вбудованих функцій програми електронних таблиць Microsoft Excel:

· функція MTRANSP (ТРАНСП) – для знаходження транспонованої матриці;

· функція MINVERSE (МОБР) – для відшукання оберненої матриці;

· функції MMULT (МУМНОЖ) – для множення матриць;

· функція MDETERM (МОПРЕД) – для знаходження визначника матриці.

Для спрощення вводимо позначення .

Відхилення параметрів множинної лінійної регресії знаходять за формулою:

, (4.5)

де – табличне значення t–статистики Стьюдента за величиною ймовірності р і ступенем вільності ;

– оцінка дисперсії параметра а_і, яке знаходять за формулою:

, (4.6)

де – діагональний елемент матриці ;

S² – неусувна і обґрунтована оцінка дисперсії відхилень фактичних даних від теоретичних, яке знаходять за формулою:

. (4.7)

Тоді довірчий інтервал параметра а_і матиме такий вигляд:

. (4.8)

Для перевірки суттєвості впливу деякого фактора на показник розраховують значення t–статистики за формулою:

. (4.9)

Табличне значення t–статистики t_рк знаходять за величиною ймовірності р, та ступенем вільності .

Якщо виконується нерівність , то з ймовірністю р стверджують, що фактор х_і несуттєво впливає на показник Y, і його можна виключити з рівняння регресії. Інакше рівняння множинної лінійної регресії залишають без змін.

Перевірку моделі множинної лінійної регресії на адекватність експериментальним даним здійснюють за допомогою критерію Фішера, розрахункове значення якого знаходять за формулою:

, (4.10)

де R² – коефіцієнт множинної детермінації, який визначають за формулою:

. (4.11)

Табличне значення критерію Фішера F_таб знаходять за величиною ймовірності р і ступенями свободи k₁=m-1, k₂=n-m. Перевіряють умову:

. (4.12)

Якщо ця умова виконується, то з ймовірністю р стверджують, що побудована модель множинної лінійної регресії адекватна експериментальним даним і придатна для економічного аналізу і прогнозування. Якщо умова (4.12) не виконується, модель не можна вважати адкватною статистичним даним і, відповідно, не можна використовувати. В такому випадку слід провести додаткові спостереження і побудувати на їх основі нову модель.