ТЕМА 3. ПАРНА НЕЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ.

1. Поняття про парну нелінійну регресію (ПНЛР).

2. Приклади парних нелінійних регресій та обчислення їх параметрів.

3. Аналіз моделі ПНЛР.

1. Поняття про парну нелінійну регресію.

Попри те, що найбільш поширеною, вивченою і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія, не всі економічні процеси можна описати за її допомогою. Тому на практиці використовують складніші моделі з нелінійними залежностями між показником У і фактором Х, які називаються парними нелінійними регресіями. Для таких регресій зберігається вся методологія досліджень, яка детально розглянута для парної лінійної регресії (тема 2).

Парною нелінійною регресією називається одностороння стохастична нелінійна залежність між випадковими величинами показника У і фактора Х, які знаходяться в причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна фактора викликає зміну показника.

Парна нелінійна регресія буває таких видів:

1) нелінійна за фактором, але лінійна за показником (або квазілінійна);

2) нелінійна і за фактором, і за показником.

2. Приклади парних нелінійних регресій та обчислення їх параметрів.

1) .

Заміною , зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

2) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною , зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

Відповідно, .

3) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною , зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

Відповідно, .

4) .

Заміною зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

5) .

Заміною ; зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

6) .

Заміною зведемо квазілінійну регресію до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

7) .

Заміною зведемо квазілінійну регресію до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

8) .

Заміною зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

9) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною ; ; зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

Відповідно, ; .

10) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною ; ; зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

Відповідно .

11) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною ; ; ; зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

Відповідно, ; .

12) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною ; зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

Відповідно, .

13) .

Прологарифмуємо вираз: .

Заміною ; зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

;

Відповідно, .

14) .

Заміною зведемо квазілінійну залежність до лінійного виду:

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

15) .

Заміною зведемо квазілінійну залежність до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

16) .

Заміною зведемо вираз до лінійного виду: .

Формули для обчислення параметрів регресії:

; .

3. Аналіз моделі ПНЛР.

3.1. Оцінка адекватності моделі статистичним даним.

Для оцінки адекватності моделі нелінійної парної регресії експериментальним даним використовуємо критерії Фішера. Розрахункове значення критерію Фішера знаходимо за формулою:

_роз =, (3.1)

де – незсувна і обгрунтована оцінка дисперсії, яка розраховується за формулою:

(3.2)

– дисперсія розрахункових значень показника, яка розраховується за формулою:

. (3.3)

Для заданої ймовірності p і числа ступенів свободи k₁ = m; k₂ = n – m, де n – кількість результатів експерименту; m – кількість факторів, які суттєво впливають на показник, знаходимо табличне значення критерію Фішера F_табл.

Якщо F_роз>F_табл, то з ймовірністю p можна стверджувати, що побудувана модель нелінійної парної регресії адекватна експериментальним даним і придатна для подальшого аналізу та прогнозування. У протилежному випадку отриману модель з ймовірністю p не можна вважати адекватною експериментальним даним й не можна використовувати для економічного аналізу і прогнозування. Тоді слід провести додаткові спостереження і побудувати на їх основі нову модель.

3.2. Довірчі інтервали параметрів регресії.

Якщо задана модель парної нелінійної регресії лінійна за фактором Х, то довірчі інтервали параметрів шукаємо за тими ж формулами, що й для парної лінійної регресії:

, де (3.4)

, де . (3.5)

де табличне значення функції Стьюдента для ймовірності р і кількості ступенів свободи k=n-2.

Якщо задана модель нелінійна за фактором, причому при зведені її до парної лінійної регресії використали заміну z=j(x), де j(x) – функція нелінійна за фактором х, то для знаходження довірчих інтервалів використовують такі формули:

; де (3.6)

, де (3.7)

3.3. Довірча зона парної нелінійної регресії.

У випадку квазілінійної регресії відхилення розрахункових значень показника будуть обчислюватися за формулами:

(3.8)

Тоді нижню межу регресії утворюють точки з координатами а верхня

У випадках, коли нелінійна регресія перетворюється у лінійну шляхом логарифмування і заміни величин, довірча зона знаходиться спочатку для лінійної регресії за вищенаведеними формулами, потім, використовуючи зворотні перетворення для меж довірчих інтервалів, знаходимо межі довірчих інтервалів парної нелінійної регресії за формулами:

. (3.9)

Зауважимо, що в результаті використання обернених перетворень довірчі інтервали регресії такого виду будуть несиметричними відносно лінії регресії.

3.4. Прогноз показника та його довірчий інтервал.

Для парної нелінійної регресії прогнозне значення показника знаходимо шляхом підстановки прогнозного значення фактора Х_р у вихідну формулу.

Для квазілінійної регресії довірчий інтервал прогнозного значення показника знаходимо за формулами:

(3.10)

де . (3.11)

Для нелінійних регресій, які перетворилися у лінійні шляхом логарифмування і заміни величин, довірчий інтервал прогнозу показника знаходимо спочатку для лінійної регресії за вищенаведеними формулами, потім використовуючи зворотні перетворення знаходимо довірчий інтервал прогнозу показника для парної нелінійної регресії за формулою:

(3.12)