ТЕМА 2. ПРИНЦИПИ ПОБУДОВИ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ. ПАРНА ЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ.

1.   Економетрика як наука. Мета економетричного дослідження.

2.   Поняття про економетричну модель.

3.   Етапи проведення економетричного аналізу.

4.   Поняття про парну лінійну регресію (ПЛР).

5.   Побудова та аналіз моделі ПЛР.

1.   Економетрика як наука. Мета економетричного дослідження.

Економетрика – напрямок економічної науки, в якому поєднуються теоретична економіка, математика та статистика.

Метою економетричного дослідження є аналіз реальних економічних систем і процесів, що в них відбуваються, за допомогою економетричних методів і моделей, а також їх застосування при прийнятті науково обґрунтованих управлінських рішень.

2.   Поняття про економетричну модель.

Економетрична модель – це функція чи система функцій, що описує кореляційно-регресійний зв’язок між економічними показниками, причому залежно від причинно-наслідкових зв’язків між ними один чи кілька із цих показників розглядаються як залежні змінні, а інші – як незалежні [10].

Аналітичну форму економетричної моделі називають специфікацією моделі.

Найбільш проста економетрична модель має вигляд лінійного регресійного рівняння:

, (2.1)

де Y – залежна змінна;

Х₁, Х₂, …, Х_n – незалежні змінні (регресори);

– параметри моделі;

– випадкова складова.

Таким чином, рівняння регресії містить змінні та параметри.

Змінні – це економічні величини, які можуть набувати будь-яких значень з заданої множини допустимих величин.

Розрізняють такі види змінних:

·          ендогенні змінні – визначаються в рамках моделі (показник або залежна змінна Y);

·          екзогенні змінні – задаються поза моделлю (фактори або незалежні змінні Х_i).

Параметри – коефіцієнти при змінних в рівняннях.

Рівняння та параметри утворюють певну структуру моделі.

Якщо розглядається сукупність кількох взаємозалежних регресійних рівнянь, її називають системою економетричних рівнянь.

3.   Етапи проведення економетричного аналізу.

Розрізняють такі етапи економетричного аналізу:

1.   Формулювання теорії чи гіпотези;

2.   Розробка економетричної моделі для перевірки цієї гіпотези;

3.   Оцінка параметрів моделі;

4.   Перевірка моделі на адекватність експериментальним даним;

5.   Статистичні висновки;

6.   Аналіз та прогнозування розвитку економічного процесу на основі побудованої моделі.

4.   Поняття про парну лінійну регресію (ПЛР).

Найбільш поширеною, вивченою і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія.

Парною лінійною регресією називається одностороння стохастична лінійна залежність між випадковими величинами показника У і фактора Х, які знаходяться в причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна фактора викликає зміну показника.

Різниця між функціональною і стохастичною (випадковою) залежністю:

·          при функціональній залежності одному значенню аргументу (фактора) відповідає лише одне значення функції (показника);

·          при стохастичній залежності одному значенню фактора може відповідає декілька різних значень показника.

Теоретична модель зв’язку між показником У і фактором Х з урахуванням можливих відхилень має вигляд:

, (2.2)

де і – невідомі параметри регресії;

– випадкова змінна, що характеризує відхилення вздовж осі ординат (ОУ) експериментальних точок від лінії регресії.

5.   Побудова та аналіз моделі ПЛР.

Справжні значення параметрів обчислити неможливо на основі обмеженої кількості спостережень, тому розрахункові значення параметрів і є статистичними оцінками справжніх параметрів і . Рівняння парної регресії є оцінкою моделі .

Оцінка параметрів моделі проводиться методом найменших квадратів, суть якого полягає в тому, що сума квадратів відхилень експериментальних значень від розрахункових має бути мінімальною:

. (2.3)

Формули для визначення параметрів і рівняння ПЛР:

, (2.4)

. (2.5)

Виконавши у формулі (2.5) почленне ділення, матимемо:

. (2.6)

Отже, графік парної лінійної регресії проходить через точку, координати якої – середні значення фактора і показника.

Для характристики тісноти та напрямку зв’язку між величинами Х і У розраховують коефіцієнт кореляції, який визначається за формулою:

. (2.7)

Значення коефіцієнта кореляції належить проміжку [-1;1].

Якщо , зв’язок між величинами функціональний.

Якщо , зв’язок відсутній.

Залежність тісноти зв’язку між фактором і показником від значення коефіцієнта кореляції:

·          якщо 0<<0,5, зв’язок між фактором і показником слабкий;

·          якщо 0,5<<0,7, зв’язок між фактором і показником середній;

·          якщо 0,7<<1, зв’язок між фактором і показником сильний.

Залежність напрямку зв’язку між фактором і показником від знака коефіцієнта кореляції:

·          якщо <0, зв’язок між величинами обернений (при збільшення фактора показник зменшується);

·          якщо >0, зв’язок між величинами прямий (при збільшенні фактора показник збільшується).

Вибірковий коефіцієнт кореляції, здобутий за вибірковими даними, є точковою оцінкою коефіцієнта кореляції і, в свою чергу, є випадковою величиною. Тому слід перевірити гіпотезу про відсутність кореляційного зв’язку.

Для цього перевіряється нульова гіпотеза про відсутність кореляційного зв’язку між фактором і показником Н₀: =0 і альтернативна їй гіпотеза про наявність такого зв’язку Н₁: ¹0.

Для вибірки обчислюється розрахункове значення t–статистика Стьюдента за формулою:

, (2.8)

яка має розподіл Стьюдента з ступенями свободи.

Для заданої ймовірності і ступенів свободи знаходять табличне значення –статистики .

Якщо , то із заданою надійністю слід відкинути гіпотезу Н₀ про відсутність зхв’зку між і та прийняти альтернативну їй гіпотезу Н₁ про наявність кореляційного зв’зку між випадковими величинами фактора і показника.

Ступінь варіації показника У під впливом варіації фактора Х показує коефіцієнт детермінації, який розраховують за формулою:

. (2.9)

Значення коефіцієнта детермінації належить проміжку [0;1].

Для ПЛР коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції:

. (2.10)

Для аналізу якості існуючої залежності між величинами Х і У використовують індекс кореляції, який розраховують за формулою:

. (2.11)

Значення індексу кореляції належить проміжку [0;1]. Чим ближче спостережувані точки лежать до лінії регресії, тим ближче значення R наближається до 1.

Надійні межі індексу кореляції визначають за формулою:

. (2.12)

Надійний інтервал індексу кореляції має вигляд:

. (2.13)

Для перевірки адекватності побудованої моделі експериментальним даним використовують критерій Фішера, розрахункове значення якого обчислююють за формулою:

. (2.14)

Табличне значення критерію Фішера знаходять за ймовірністю та числом ступенів свободи і , які визначають за формулами:

, , (2.15)

де – кількість проведених спостережень;

– кількість факторів, які мають суттєвий вплив на показник (для парної лінійної регресії =1).

Побудована економетрична модель вважається адекватною експериментальним даним, якщо розрахункове значення критерію Фішера більше за табличне:

. (2.16)

Таку модель можна використовувати для подальшого аналізу та прогнозування.

Якщо умова (2.16) не виконується, модель не можна вважати адкватною статистичним даним і, відповідно, не можна використовувати для аналізу і прогнозування. В такому випадку слід провести додаткові спостереження і побудувати на їх основі нову модель.

Надійні межі для параметрів і рівняння парної лінійної регресії визначають за формулами:

, (2.17)

, (2.18)

де – табличне значення функції Стьюдента, яке визначають за даними значеннями ймовірності і числом ступенів свободи ;

– незсувна і обгрунтована статистична оцінка дисперсії, яку визначають за формулою:

. (2.19)

Тоді надійні інтервали параметрів і рівняння парної лінійної регресії матимуть вигляд:

, (2.20)

. (2.21)

Надійні межі базисних середніх значень показника У визначають за формулою:

. (2.22)

Сполучаючи лінією точки з координатами та отримують відповідно верхню та нижню межу надійної зони регресії.

Частина площини, яка знаходиться між ними, називається надійною зоною парної лінійної регресії.

Зазначимо, що найкращі припущення із заданою надійністю слід очікувати в околі точки .

Тобто, надійна зона в околі цієї точки найвужча і розширюється при віддаленні від значення .

Прогнозне значення показника визначають шляхом підстановки у рівняння регресії прогнозного значення фактора:

. (2.23)

Межі надійного інтервалу індивідуального прогнозного значення показника визначають за формулою:

. (2.24)

Тоді надійний інтервал прогнозного значення показника матиме вигляд:

. (2.25)

В економіці для оцінки міри впливу фактора на показник часто використовують коефіцієнт еластичності.

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на один відсоток.

Формула для визначення коефіцієнта еластичності показника за фактором , якщо залежність між ними задається формулою , має вигляд:

. (2.26)

Для парної лінійної регресії коефіцієнт еластичності розраховують за формулою:

. (2.27)

Рекомендована література: [3; 6; 7; 8; 9].