Тема 6. Методи лінеаризації

У лекції розглядаються методи лінеаризації, які використовуються для спрощення аналізу і синтезу нелінійних систем. Лінеаризація полягає в наближенні нелінійної системи до лінійної в околі точки рівноваги, що дозволяє застосовувати стандартні методи теорії автоматичного керування. Зазначається, що для цього використовуються розклади Тейлора, де нелінійні рівняння апроксимуються лінійними. Лінеаризація дозволяє значно спростити обчислення і аналіз стійкості та керованості системи.

6.1. Методи лінеаризації

Лінеаризація - це процес спрощення нелінійної системи шляхом її наближення до лінійної. Це особливо корисно, оскільки багато класичних і сучасних методів керування розроблені для лінійних систем. Ідея полягає в тому, щоб зробити систему простішою для аналізу та керування, особливо поблизу певної робочої точки.

Загальні методи лінеаризації:

1. Аналітична лінеаризація (розкладання в ряд Тейлора). Це найпоширеніший метод. Він полягає в апроксимації нелінійної поведінки системи навколо певної робочої точки за допомогою похідних. Він є точним, доки система не віддаляється від цієї точки. Це стандартний метод, який вивчають на курсах з управління.

2. Лінеаризація входу-виходу (лінеаризація за зворотним зв'язком). Цей метод використовує спеціальний тип зворотного зв'язку для усунення нелінійних частин системи, щоб вона поводилася як лінійна. Він поширений у складних системах, таких як робототехніка або аерокосмічна галузь, але вимагає детального знання моделі системи.

3. Кускова лінеаризація. Тут нелінійна система ділиться на сегменти, і кожен з них апроксимується окремою лінійною моделлю. Цей метод добре підходить для систем, які працюють в широких діапазонах, але перемикання між моделями може зробити логіку управління більш складною.

4. Чисельна лінеаризація. Цей метод не вимагає від вас самостійних математичних розрахунків - натомість ви моделюєте систему і дозволяєте програмним інструментам оцінити лінійну модель на основі даних. Це дуже зручно, коли система занадто складна для моделювання вручну, але ви втрачаєте певну видимість того, як система працює зсередини.

В теорії автоматичного керування найбільш використовуваними є: графоаналітичний і аналітичний.

Графоаналітичні або лінійно-кускові методи лінеаризації базуються на заміні частин нелінійних характеристик лінійними відрізками. Це дозволяє спростити побудову аналітичних залежностей та полегшити аналіз систем.

Аналітичні методи лінеаризації передбачають розкладання нелінійної функції в ряд навколо певної точки на характеристиці. Найпоширенішим методом є ряд Тейлора, який дає змогу представити нелінійну функцію як суму лінійних і нелінійних термінів, що базуються на значеннях функції та її похідних у визначеній точці. Це дозволяє наближено лінеаризувати функцію для малих відхилень від цієї точки, спрощуючи подальший аналіз.

Також використовуються інші методи, такі як ряди Паде або ряди Фур’є, залежно від характеру задачі.

(6.1)

де f(а) – початкове значення функції;

f ΄, f ΄΄,… ,f⁽ⁿ⁾ – похідні відповідного порядку;

(z - а) – відхилення змінної відносно її початкового значення в точці „а”.

Згідно з гіпотезою малих відхилень Вишеградського, яка стверджує, що в процес регулювання відхилення регульованої величини відносно її початкового значення незначне, відхиленням змінної величини (z - а) в другому, в третьому і далі степенях можна знехтувати. Тому в ТАК вираз набуває вигляду:

(6.2)

Рівняння динаміки ланок і САК можуть бути складені так, як і рівняння статики, в абсолютних величинах, відхиленнях і відносних величинах.

6.2. Коефіцієнт самовирівнювання і його вплив на характер перехідних процесів

Рівняння багатьох об’єктів автоматичного керування в загальному випадку можна записати у вигляді:

х_вих = kх_вх(1 – e^–t/T). (6.3)

Розділивши ліву і праву частини рівняння на передатний коефіцієнт k і визначивши

дістанемо рівняння у вигляді, запропонованому професором Стодола:

(6.4)

Підставивши в розв’язок значення:

(6.5)

отримаємо:

, (6.6)

Де k_c –коефіцієнт самовирівнювання.

Проаналізуємо (*) відносно коефіцієнта k_c. При k_c > 0 i t → ∞

.

Залежність х_вих = f(t) є експонента, при k_c > 0 i t → ∞, х_вих →

При k_с = 0 рівняння динаміки матиме вигляд:

(6.7)

При х_вх = const:

(6.8)

У такому випадку при t → ∞, х_вих → ∞

Питання для самоперевірки

1.     Що таке лінеаризація в системах керування?

2.     Для чого застосовують лінеаризацію?

3.     Як лінеаризують нелінійні рівняння?

4.     Що таке точка рівноваги при лінеаризації?

5.     Як лінеаризація допомагає в аналізі систем?