Лабораторна робота №10

Тема. Методи оцінки якості

Мета: Дослідити якість замкнутої системи за допомогою методу приблизного знаходження мінімального кореня

До кореневих методів оцінки якості належать:

– метод оцінки якості за розміщенням коренів на комплексній площині;

–     за допомогою діаграм зон параметрів;

–     за полюсами і нулями передаточної функції;

–     методи кореневих годографів, стандартних діаграм, процесів і коефіцієнтів.

Оцінка якості системи на основі розташування коренів на комплексній площині. Один із методів цієї групи полягає в аналізі найменшого кореня, який розташований найближче до уявної осі комплексної площини.

Методика знаходження мінімального кореня полягає в наступному:

1. Знаходять мінімальне значення кореня за умови, що за час величина відхилення регульованої величини x від її початкового значення , буде дорівнювати :

(1)

2.                  Виконують перевірку “мінімальності” знайденого за формулою (2) кореня в умовах даної системи.

З цією метою вертикальну вісь комплексній площині коренів переміщують вліво на відстань

У новій системі координат (після переміщення вертикальної осі) характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд:

(2)

Рисунок 1 – Розташування найменшого кореня на комплексній площині

Якщо нова система з характеристичним рівнянням (2) виявиться нестійкою, це означає, що мінімальний корінь, визначений відповідно до заданих вимог до якості системи, насправді не є мінімальним. Внаслідок цього виконати задану умову (t, m, %) у цій системі неможливо. У такій ситуації можливі два варіанти дій: або прийняти, що задану умову виконати неможливо, або змінити її параметри ttt і mmm, обчислити нове значення мінімального кореня αi+1 та перевірити його мінімальність. Цей метод також дозволяє визначити оптимальні параметри налаштування системи для досягнення необхідних показників якості.

Приклад. Дослідити якість замкнутої системи, характеристичне рівняння якої . За методом мінімального кореня знайти коефіцієнт підсилення розімкнутої системи, при якому відхилення регульованої величини від заданого значення за час t= 3,5 с не перевищувало б 5 % (m = 5 %).

Розв'язання. Для виконання поставленої умови знайдемо необхідне значення мінімального кореня за формулою

Нове характеристичне рівняння після переміщення вертикальної

після перетворень

Наявність від'ємних коефіцієнті в згідно з критерієм Гурвіца означає нестійкість системи. Дослідимо дану систему з а інших умов стосовно якості САР: тривалість перехідного процесу t= 20 с при m=5 %. Обчислимо значення мінімального кореня:

Характеристичне рівняння матиме вигляд:

Після перетворень воно запишеться так:

Дня перевірки стійкості системи використаємо критерій Гурвіца. Знайдемо головний визначник системи:

= 1.4 11.8 0 0

1 10.24 3 + 5*k 0

0 1.4 11.8 0

0 1 10.24 3 + 5*k

звідки умова стійкості

= 1.4 11.8 0

1 10.24 3 + 5*k = 1.4*10.24*11.8-1.4²(3+5k)>0

0 1.4 11.8

−0.6<k<2.45

Отже за час t = 20 с можна одержати відхилення регульованої величини в САК, як е дорівнює 5 % від початкового значення .

Завдання для виконання

1.   Дослідити якість замкнутої системи, характеристичне рівняння якої має вигляд

2.   За методом мінімального кореня знайти коефіцієнт підсилення розімкнутої системи k, при якому відхилення регульованої величини від заданого значення за час τ =4с не перевищувало б 6% (m=6%).

Дані коефіцієнтів характеристичного рівняння наведені в таблиці 1, які відповідають порядковому номеру в журналі академічної групи.

Таблиця 1 – Дані для розрахунку

№ варіанту	а0	а1	а2	а3	а4
1	1	9	11	12	5
2	4	5	7	10	4
3	5	9	12	14	3
4	2	4	8	10	5
5	4	6	9	11	4
6	3	7	13	15	5
7	3	5	10	12	7
8	2	6	8	13	6
9	5	8	11	14	4
10	4	8	14	17	5
11	6	9	12	13	3
12	4	8	11	12	6
13	5	6	10	11	5
14	2	3	6	13	3
15	1	3	7	10	5
16	4	5	14	15	4
17	7	9	11	12	5
18	3	7	10	11	3
19	5	8	12	14	4
20	6	10	12	13	6

Стійкість системи дослідити за двома методами (критеріями) – Гурвіца та D-розбиття. Результати досліджень порівняти та зробити висновок, щодо забезпечення показників якості системи.