Лабораторна робота № 11

Тема. Аналіз і синтез систем автоматичного управління методом кореневого годографа

Мета роботи: навчитися будувати в MATLAB кореневі годографи систем автоматичного управління, аналізувати за цими годографами поведінку систем і використовувати їх для синтезу регуляторів.

Кореневий годограф – це траєкторії коренів характеристичного рівняння системи на комплексній площині при зміні якого-небудь параметра системи.

Алгоритм побудови кореневого годографа наступний:

1.   Визначення передавальної функції системи:

–     Записати передавальну функцію відкритої системи G(s)H(s), де G(s) – передавальна функція прямого каналу, а H(s) – зворотного зв’язку.

–     Виділити чисельник і знаменник функції.

2.   Знаходження полюсів і нулів:

–     Визначити полюси — корені знаменника G(s)H(s) (прирівняти знаменник до нуля).

–     Визначити нулі — корені чисельника G(s)H(s) (прирівняти чисельник до нуля).

–     Позначити кількість полюсів (n) і нулів (m).

3.   Позначення початкових і кінцевих точок:

–     Відзначити, що годограф починається в полюсах (при K=0).

–     Вказати, що годограф закінчується в нулях (при K→∞), або в нескінченності, якщо n>m.

4.   Визначення ділянок на дійсній осі:

–     Вибрати тестову точку на дійсній осі.

–     Підрахувати кількість полюсів і нулів праворуч від неї (сума повинна бути непарною для належності до годографа).

–     Повторити для всіх ділянок між полюсами і нулями, щоб знайти частини дійсної осі, що належать годографу.

5.   Розрахунок асимптот:

–    Обчислити центр асимптот:

–    Визначити кути асимптот: , k=0,±1,±2

–     Відзначити, що асимптоти потрібні, якщо n>m.

6.   Знаходження точок відриву і приєднання:

–     Скласти характеристичне рівняння: 1+KG(s)H(s)=0

–     Виразити K як функцію від s: K=−1G(s)H(s)

–     Взяти похідну dK/ds і прирівняти до нуля, щоб знайти точки відриву або приєднання.

–     Розв’язати отримане рівняння для визначення координат цих точок.

7.   Визначення перетину з уявною віссю:

–     Підставити s=jω в характеристичне рівняння.

–     Розділити на дійсну та уявну частини.

–     Розв’язати систему рівнянь для знаходження значень ω і відповідного K, де годограф перетинає уявну вісь.

8.   Побудова гілок годографа:

–     Накреслити полюси (хрестиками) і нулі (кружечками) на комплексній площині.

–     Позначити ділянки на дійсній осі, що належать годографу.

–     Накреслити асимптоти, що виходять із центра асимптот під розрахованими кутами.

–     З’єднати полюси з нулями або асимптотами, враховуючи точки відриву/приєднання та симетрію відносно дійсної осі.

–     Додати стрілки, що показують напрямок руху коренів при зростанні K.

9.   Перевірка стійкості:

–     Визначити діапазон K, при якому всі корені лежать у лівій півплощині (система стійка).

–     Використати перетин з уявною віссю як межу стійкості.

10.   Оформлення результатів:

–     Накреслити остаточний вигляд годографа.

–     Вказати критичні значення K і відповідні точки на графіку.

Нехай необхідно дослідити систему. Для дослідження скористаємось Matlab, лістинг 1

Лістинг 1 – Код програми

% 1. Задаємо систему: G(s) = K / (s * (s+2) * (s+4))

num = [1]; % Чисельник (K)

den = [1 6 8 0]; % Знаменник (s^3 + 6s^2 + 8s)

sys = tf(num, den);

% 2. Будуємо кореневий годограф базової системи

figure(1);

rlocus(sys); % годограф

title('Кореневий годограф базової системи'); % Назва

xlabel('Re(s)');

ylabel('Im(s)');

grid on;

% 3. Порівняння замкнених систем із різними K

K_values = [10, 30, 48]; % Різні значення K для порівняння

figure(2);

hold on;

for i = 1: length(K_values)

K = K_values(i); % Беремо поточне значення K

sys_K = tf([K], den); % Система з фіксованим K

sys_closed = feedback (sys_K, 1); % Замкнена система

step (sys_closed, 10); % Малюємо перехідну характеристику до 10 секунд

end

% Налаштування графіка

title('Перехідні характеристики для різних K');

xlabel('Час (с)');

ylabel('Амплітуда');

grid on;

hold off;

% 4. Порівняння коренів на комплексній площині для різних K

figure(3);

hold on;

for i = 1:length(K_values)

K = K_values(i); % Беремо поточне значення K

sys_K = tf([K], den); % Система з фіксованим K

sys_closed = feedback(sys_K, 1);

poles = pole(sys_closed);

plot(real(poles), imag(poles)); % корені

end

% Налаштування графіка

title('Положення коренів для різних K');

xlabel('Re(s)');

ylabel('Im(s)');

grid on;

hold off;

____________________________________________________________________

Кінець лістингу 1

Рисунок 1 – Побудова кореневого годографа та перехідних характеристик при різних значеннях k

У ході виконання лабораторної роботи було проаналізовано перехідні характеристики (рис.1):

1.   При K=10: перехідна характеристика демонструє повільну реакцію системи з помітним часом встановлення. Амплітуда вихідного сигналу поступово наближається до одиниці без значних коливань, що свідчить про стійку поведінку з великим запасом стійкості. Корені замкненої системи розташовані далеко в лівій півплощині, що забезпечує аперіодичний характер перехідного процесу.

2.   При K=30: зі збільшенням K до 30 перехідна характеристика показує швидшу реакцію системи, однак з’являються слабкі коливання. Час встановлення зменшується, але перерегулювання стає помітним. Це вказує на наближення коренів до уявної осі, що зменшує демпфування і робить систему більш динамічною, але все ще стійкою.

3.   При K=48: перехідна характеристика при K=48 характеризується вираженими коливаннями, які не затухають у часі. Амплітуда сигналу коливається навколо одиниці з постійною величиною, що свідчить про досягнення межі стійкості. Положення коренів на уявній осі підтверджує, що система перебуває в критичному стані, де будь-яке подальше збільшення K призведе до нестійкості.

Отже, аналіз перехідних характеристик показав, що збільшення коефіцієнта підсилення K прискорює реакцію системи, але одночасно знижує її запас стійкості. Оптимальне значення K залежить від вимог до швидкості відгуку та допустимого рівня коливань. Для даної системи K=30може бути компромісним вибором, забезпечуючи швидшу реакцію порівняно з K=10, але уникаючи нестабільності, характерної для K=48.

Завдання для виконання

Побудуйте кореневий годограф системи, при 0<К<∞ у для приведених нижче передатних функцій, що подані в таблиці 1

Таблиця 1 – Варіанти завдань.