Лабораторна робота №7

Тема. Дослідження статичних та динамічних характеристик об’єктів управління

Мета роботи: дослідити статичні та динамічні характеристики типових об’єктів управління. Визначити залежність вихідного сигналу від вхідного в стаціонарному режимі (статичні характеристики) та поведінку під час перехідного процесу (динамічні характеристики) при ступінчастому вхідному сигналі. Побудувати відповідні графіки за допомогою MATLAB.

Об’єкти управління — це елементи системи, що перетворюють вхідний сигнал x(t) у вихідний сигнал y(t). Їхні характеристики поділяються на:

1.     Статичні: Залежність yст від xxx у стаціонарному режимі (при t→∞).

2.     Динамічні: Поведінка y(t) під час перехідного процесу (час реакції, коливання тощо).

Розглянемо три типові об’єкти:

1.     Підсилювальна ланка:

–                   передавальна функція: W(s)=K;

–                   рівняння: y(t)=Kx(t);

–                   K — коефіцієнт підсилення;

–                   статична характеристика: yст=Kx.;

–                   динамічна характеристика: миттєва реакція.

2.     Інерційна ланка першого порядку:

–                   передавальна функція: W(s)=K/Ts+1;

–                   рівняння: Tdy(t)/dt+y(t)=Kx(t);

–                   T — стала часу, K — коефіцієнт підсилення;

–                   статична характеристика: yст=Kx;

–                   динамічна характеристика: експоненційне наближення до yст.

3.     Інтегрувальна ланка:

–                   передавальна функція: W(s)=K/s;

–                   рівняння: dy(t)/dt=Kx(t);

–                   статична характеристика: не має стаціонарного значення при постійному x.

–                   динамічна характеристика: лінійне зростання.

Характеристики для аналізу:

1.     Статичні: yст при різних x;

2.     Динамічні: час перехідного процесу (tp), перерегулювання (σ), максимальне відхилення від yст у відсотках, форма перехідного процесу.

Вхідний сигнал: Ступінчастий сигнал x(t)=A при t≥0, де A — амплітуда.

Для проведення експерементів з метою дослідження отриманих характеристик необхідно:

1.     Налаштувати параметри об’єктів:

–          Підсилювальна: K=2 і K=5;

–          Інерційна: K=1, T=1с і T=2 с;

–          Інтегрувальна: K=0.5 і K=1;

2.     Установити вхідний сигнал: x(t)=1 при t≥0.

3.     Дослідження статичних характеристик передбачає: для кожного об’єкта визначити yст при x=1, x=2, x=3.

4.     Дослідження динамічних характеристик передбачає наступні дії:

–          подати x(t)=1 на вхід кожної ланки;

–          записати y(t) протягом 10 секунд.

Для моделювання та побудови графіків використаємо MATLAB, лістинг 1 та рисунок 1.

Лістинг 1 – Побудова графіків з використанням MATLAB

_______________________________________________________________________________

% Визначення часу моделювання

t = 0:0.01:10; % Час від 0 до 10 с із кроком 0.01 с

% Вхідний сигнал x(t) = 1

x = ones(size(t));

% 1. Підсилювальна ланка

K1 = 2; K2 = 5;

y_amp1 = K1 * x; % K = 2

y_amp2 = K2 * x; % K = 5

% 2. Інерційна ланка першого порядку

K_inert = 1;

T1 = 1; T2 = 2;

y_inert1 = K_inert * (1 - exp(-t/T1)); % T = 1 с

y_inert2 = K_inert * (1 - exp(-t/T2)); % T = 2 с

% 3. Інтегрувальна ланка

K_int1 = 0.5; K_int2 = 1;

y_int1 = K_int1 * t; % K = 0.5

y_int2 = K_int2 * t; % K =

% Статичні характеристики

x_static = 0:0.5:3; % Різні значення вхідного сигналу

y_static_amp1 = K1 * x_static; % Підсилювальна, K = 2

y_static_amp2 = K2 * x_static; % Підсилювальна, K = 5

y_static_inert = K_inert * x_static; % Інерційна

% Побудова графіків

figure('Name', 'Дослідження характеристик об’єктів управління', 'NumberTitle', 'off');

% Графік 1: Підсилювальна ланка (динамічні)

subplot(3, 2, 1);

plot(t, y_amp1, 'b-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'K = 2');

hold on;

plot(t, y_amp2, 'r-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'K = 5');

plot(t, x, 'k--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'x(t) = 1');

hold off;

title('Підсилювальна ланка (динамічна)');

xlabel('Час, с'); ylabel('y(t)');

legend('show'); grid on;

% Графік 2: Інерційна ланка (динамічна)

subplot(3, 2, 3);

plot(t, y_inert1, 'b-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'T = 1 с');

hold on;

plot(t, y_inert2, 'r-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'T = 2 с');

plot(t, x, 'k--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'x(t) = 1');

hold off;

title('Інерційна ланка (динамічна)');

xlabel('Час, с'); ylabel('y(t)');

legend('show'); grid on;

% Графік 3: Інтегрувальна ланка (динамічна)

subplot(3, 2, 5);

plot(t, y_int1, 'b-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'K = 0.5');

hold on;

plot(t, y_int2, 'r-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'K = 1');

plot(t, x, 'k--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'x(t) = 1');

hold off;

title('Інтегрувальна ланка (динамічна)');

xlabel('Час, с'); ylabel('y(t)');

legend('show'); grid on;

% Графік 4: Статичні характеристики

subplot(3, 2, [2, 4]);

plot(x_static, y_static_amp1, 'b-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Підсилювальна, K = 2');

hold on;

plot(x_static, y_static_amp2, 'r-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Підсилювальна, K = 5');

plot(x_static, y_static_inert, 'g-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Інерційна, K = 1');

hold off;

title('Статичні характеристики');

xlabel('x'); ylabel('y_{ст}');

________________________________________________________________________________

Кінець лістингу 1

Рисунок 1 – Динамічні та статичні характеристики

Результати експерименту представлені в таблиці 1 та 2.

Таблиця 1 – Статичні характеристики

Таблиця 2 – Динамічні характеристики

Висновки:

1.     Підсилювальна ланка має лінійну статичну характеристику та миттєву динамічну реакцію.

2.     Інерційна ланка демонструє пропорційну статичну залежність і плавний перехідний процес, залежний від T.

3.     Інтегрувальна ланка нестабільна в стаціонарному режимі, її вихід лінійно зростає з часом.

Приклад. Дослідити статичні та динамічні характеристики об’єкта. Об’єкт управління — водяний бак із електричним нагрівачем — перетворює вхідний сигнал (потужність нагрівача P(t), Вт) у вихідний сигнал (температуру води T(t) °C). Модель об’єкта наближено описується інерційною ланкою першого порядку.

Параметри об’єкта:

–        K=0.05 °C/Вт (визначається теплоємністю води та тепловтратами),

–        T=200 с (для бака об’ємом 10 л з помірною ізоляцією).

Вхідний сигнал: P(t)=200 Вт при t≥0.

Побудову характеристик проведемо за допомогою Matlab, лістинг 2 та рисунок 2

Лістинг 2 – Програма в Matlab

____________________________________________________________________

% Параметри

K = 0.05; % Коефіцієнт підсилення (°C/Вт)

T = 200; % Стала часу (с)

t = 0:1:1000; % Час (с)

% Вхідний сигнал: P = 200 Вт

P = 200 * ones(size(t));

T_st = K * P; % Стаціонарна температура

% Динамічна характеристика

T_t = K * P .* (1 - exp(-t/T));

% Статична характеристика

P_static = 0:50:300;

T_static = K * P_static;

% Побудова графіків

figure('Name', 'Характеристики водяного бака', 'NumberTitle', 'off');

% Динамічна характеристика

subplot(2, 1, 1);

plot(t, T_t, 'b-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'T(t)');

hold on;

plot(t, T_st, 'r--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'T_{ст} = 10 °C');

hold off;

title('Динамічна характеристика (P = 200 Вт)');

xlabel('Час, с'); ylabel('Температура, °C');

legend('show'); grid on;

% Статична характеристика

subplot(2, 1, 2);

plot(P_static, T_static, 'b-', 'LineWidth', 1.5);

title('Статична характеристика');

xlabel('Потужність, Вт'); ylabel('T_{ст}, °C');

grid on;

________________________________________________________________________________

Кінець лістингу 2

Рисунок 2 – Характеристики водяного бака

Аналіз результатів:

1.     Статичні характеристики:

–        Tст=0.05⋅P, наприклад, при P=200 Вт;

–        температура стабілізується на 10 °C;

–        залежність лінійна, підтверджена графіком.

2.     Динамічні характеристики:

–        температура T(t) зростає експоненційно до 10 °C;

–        час перехідного процесу tp≈600 с, перерегулювання відсутнє.

Графіки показують плавне наближення до Tст і лінійну залежність Tст від P.

Завдання для виконання

1.     Резистор у підсилювачі:

-         Вхід: Напруга (В)

-         Вихід: Напруга (В)

–        Обчисліть вихідну напругу при вхідній 5 В і коефіцієнті підсилення 3

2.     Водяний бак із нагрівачем:

–        Вхід: Потужність (Вт)

–        Вихід: Температура (°C)

–        Визначте стаціонарну температуру при 300 Вт і K=0.04 °C/Вт.

3.     Електродвигун із вантажем:

–        Вхід: Напруга (В)

–        Вихід: Кут повороту (рад)

–        Побудуйте в MATLAB графік кута повороту за 10 с при 12 В

4.     Пружинно-демпферна система:

–        Вхід: Сила (Н)

–        Вихід: Положення (м)

– Знайдіть максимальне переміщення при силі 10 Н за 5 с

5.     Трубопровід із рідиною:

–        Вхід: Тиск (Па)

–        Вихід: Тиск (Па)

–        Визначте затримку реакції, якщо вихід змінюється через 2 с

6.     Конденсатор у RC-колі:

–        Вхід: Напруга (В)

–        Вихід: Напруга (В)

–        Обчисліть час досягнення 63% від 10 В при RC=1 с

7.     Гідравлічний акумулятор:

–        Вхід: Витрата (л/с),

–        Вихід: Тиск (Па).

–        Знайдіть тиск через 5 с при витраті 2 л/с і K=1000 Па/(л/с)

8.     Механічний маховик:

–        Вхід: Момент (Н·м)

–        Вихід: Кутова швидкість (рад/с)

–        Побудуйте графік швидкості за 8 с при моменті 5 Н·м

9.     Термічний датчик із затримкою:

–        Вхід: Температура (°C)

–        Вихід: Показання (°C

–        Визначте час реакції, якщо затримка 3 с, а температура входу 50 °C

10. Електромагнітний клапан:

–        Вхід: Напруга (В)

–        Вихід: Швидкість штока (м/с)

–        Обчисліть швидкість при стрибку напруги від 0 до 10 В за 1 с