Практична робота №9

Тема: Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості (метод D-розбиття)

Мета: ознайомлення, вивчення методу та перевірка системи на стійкість за одним параметром

 

При розробці САР важливо встановити вплив окремих параметрів (або параметра) на стійкість системи при фіксованих значеннях інших параметрів. При цьому ставиться завдання встановити зони параметрів, в яких їх зміна не приводить до нестійкої роботи системи.

Дане завдання можна вирішити за допомогою розглянутих вище критеріїв стійкості, але зі зростанням порядку системи рівнянь розрахунки різко ускладнюються.

D-розбиття по одному параметру. Розглянемо методику побудови зони стійкості в площині комплексного параметра Т_x

1.                 Вихідне характеристичне рівняння D (р) = 0 представимо у вигляді Х(р) + Т_xУ(р) = 0.

2. Знаходимо величину досліджуваного параметра T_x =

3.Знаходимо комплексний вираз параметра Т_x, використовуючи підстановку р = jw, і виділимо його дійсну А(w) і уявну В(w) складові:

 

Т_х = А(w)+jB(w)

 

Т_x становить деяку криву в комплексній площині, яка відповідає уявним кореням характеристичного рівняння і є сукупністю параметрів Т_х, при яких система знаходиться на межі cтійкості. Така характеристика називається межею стійкості в площині параметра D, або кривою D-розбиття.

4. В комплексній площині параметра D за правилом штриховки Неймарка знаходимо зону стійкості.

Правило штриховки формулюють так: якщо рухатись по межі D-розбиття від значень w = -  до значень w = + , то зона стійкості буде розташована зліва від межі стійкості.

 

Рисунок 1 – Побудова кривої D-розбиття

 

5. Задаючи запас стійкості в зоні, обмеженій кривою D-розбиття, виділимо на дійсній (горизонтальній) осі (бо параметр Т_x є дійсною, фізично реальною величиною) необхідний, робочий діапазон значень параметра Т_x ,який може бути рекомендовано при проектуванні і настроюванні відповідної системи.

Побудувати область D-розбиття в плоскості коефіцієнта підсилення. Приклад рішення реалізовано в matlab, лістинг 1

 

Лістинг 1 – Реалізація D-розбиття

____________________________________________________________________

w_positive = logspace(-3, 3, 500); % Від 0.001 до 1000 рад/с

w = [fliplr(-w_positive) w_positive]; % Від -1000 до +1000 рад/с

 

% Ініціалізація масивів для Re та Im

Re = zeros(size(w));

Im = zeros(size(w));

 

% Передаточна функція об'єкта W(s) = 1 / (s(s + 2))

for i = 1:length(w)

    s = 1j * w(i); % s = jw, включає від'ємні та додатні частоти

    W = 1 / (s * (s + 2)); % Значення W(jw)

    Re(i) = real(-1/W); % Дійсна частина -1/W(jw)

    Im(i) = imag(-1/W); % Уявна частина -1/W(jw)

end

 

% Побудова замкненої фігури D-розбиття

figure;

plot(Re, Im, 'b-', 'LineWidth', 2);

hold on;

plot([0 0], ylim, 'k-');

plot(xlim, [0 0], 'k-');

grid on;

 

% Підписи

xlabel('Re \{-1/W(j\omega)\}');

ylabel('Im \{-1/W(j\omega)\}');

title('D-розбиття: замкнена межа стійкості ');

axis([-10 10 -10 10]);

 

% Заштриховка області стійкості (K > 0)

% Область стійкості — між K = 0 і K = 2

fill(Re(Im >= 0), Im(Im >= 0), 'g', 'FaceAlpha', 0.3);

legend('Межа стійкості', 'Область стійкості');

 

% Виведення критичного K

K_crit = max(Re(Im == 0)); % Максимальне значення на дійсній осі

Кінець лістинга  1

 

 

 

Завдання до виконання

1.   Дослідити стійкість розімкнутої  системи за методом D-розбиття.

2.   Побудувати криву D-розбиття та визначити запас стійкості системи

Таблиця 1 – Варіанти завдань

 

 

Варіанти структурних схем

Варіант №1

Варіант №2