Практична робота №7

Тема. Оцінка стійкості САК за алгебраїчним

Критеріем

Мета роботи: вивчити способи оцінки стійкості лінійних САК за алгебраїчним критерієм Рауса та Гурвіца.

Згідно з цим критерієм, умови стійкості формулюються таким чином: всі корені характеристичного рівняння матимуть від'ємні дійсні частини (або будуть дійсними від'ємними), якщо при додатному знаку всіх коефіцієнтів будуть додатними головний визначник Гурвіца і його діагональні мінори . Наведемо правило знаходження визначника Гурвіца.

1.По головній діагоналі записують коефіцієнти характеристичного рівняння від до .

2. Місця зверху від діагоналі заповнюють коефіцієнтами з більшим індексом, а знизу від діагоналі — з меншим індексом.

3. При відсутності відповідного коефіцієнта ставлять нуль.

4. Діагональні мінори визначають із головного детермінанта Гурвіца викреслюванням відповідних стовпчиків і рядків.

Приклад 1. Обчислити стійкість САК по критерію Рауса, якщо задано характеристичне рівняння:

Рішення. Складемо таблицю Рауса (табл. 1). Для визначення стійкості системи будуються таблиці виду:

Таблиця 1 – Таблиця Рауса

$\ ri$	1	2	3	4
-	$\ c_{1,1} = a_0$	$\ c_{2,1} = a_2$	$\ c_{3,1} = a_4$	...
	$\ c_{1,2} = a_1$	$\ c_{2,2} = a_3$	$\ c_{3,2} = a_5$	...
$r_3 = \frac{c_{1,1}} {c_{1,2}}$	$c_{1,3} = c_{2,1} - r_3 \cdot c_{2,2}$	$c_{2,3} = c_{3,1} - r_3 \cdot c_{3,2}$	$c_{3,3} = c_{4,1} - r_3 \cdot c_{4,2}$	...
$r_4 = \frac{c_{1,2}} {c_{1,3}}$	$c_{1,4} = c_{2,2} - r_4 \cdot c_{2,3}$	$c_{2,4} = c_{3,2} - r_4 \cdot c_{3,3}$	$c_{3,4} = c_{4,2} - r_4 \cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...

Число рядків таблиці Рауса на одиницю більше порядку характеристичного рівняння.

Для стійкості системи необхідно, щоб всі елементи першого стовпчика мали додатні значення і, якщо в першому стовпці присутні від'ємні елементи - система нестійка; якщо хоча б один елемент дорівнює нулю, а інші додатні, то система на межі стійкості

а₀=1	а₂=21	а₄=62	а₆=100
а₁=6	а₃=44	а₅=52	0
21-0,167*44=13,6	62-0,167*52=53	100-0,167*0=100	0
44-0,44*53,2=20,6	52-0,44*100=8	0-0,44*0=0	0
53,3-0,662*8=48	100-0,662*0=100	0	0
8-0,4*100=-35	0	0	0
100+1,37*0=100	0	0	0

Система не стійка.

Приклад 2. Визначити стійкість САК по критерію Гурвіца, якщо задано характеристичне рівняння:

Рішення. По діагоналі розставляємо коефіцієнти з а_n-1до а₀.

Потім доповнюємо по стовпчиках : вище діагональних коефіцієнтів – з зменшуючим індексом, нижче діагональних коефіцієнтів – з збільшуючим. При отримані 0 або n-го індексу ставиться нуль.

Обчислювач

Мінори

Тоді .

Система стійка.

Завдання до виконання

1. Скласти передаточну функцію системи по передаточним функціям ланок з врахуванням способів їх зєднання і виділити характеристиче рівняння САК, структурна схема яких представлена на рис.1-19.

2. Обчислити стійкість систем, структурна схема яких представлена н, за допомогою алгебраїчних критеріїв стійкості.