Практична робота №3

Тема. Створення диференціальних рівнянь елементів САУ, передаточних функцій,

як способів опису динаміки САУ

Мета роботи: вивчити способи створення диференціальних рівнянь для приладів різної фізичної природи; на основі перетворень Лапласа вивчити способи створення передаточних функцій; вивчити способи створення структурних схем по дифрівняннях.

На практичному занятті студенти самостійно аналізують приклади складання диференціальних рівнянь для генератора та електродвигуна постійного струму, розробляють передаточні функції апроксимуючих ланок цих пристроїв, а також визначають коефіцієнти передачі й часові константи. Розглядаються задачі зі створення структурних схем на основі заданих диференціальних рівнянь. Як домашнє завдання студенти отримують індивідуальні варіанти для побудови структурних схем.

При складанні диференціального рівняння, яке описує поведінку приладу в перехідному режимі, потрібно з’ясувати фізичні процеси в пристрої, встановити залежності між вхідними та вихідними величинами й сформулювати рівняння в диференціальній формі. Далі, застосовуючи перетворення Лапласа, його переводять в операційну форму, після чого складають передаточну функцію ланки, що апроксимує прилад.

Приклад. Скласти диференціальне рівняння для L-R –схеми (рис. 1), представити його в операційній формі і записати передаточну функцію.

Рисунок 1 - Електрична схема

Рішення

1.    Cкладаємо рівняння електричного балансу і усвідомлюємо фізичні процеси, які проходять в схемі:

, (1)

де - падіння напруги на опорі загрузки;

- ЕРС самоіндукції.

(2)

2.    Складаємо дифрівняння

(3)

(4)

(5)

(6)

3.    Представляємо рівняння в операторній формі, використовуючи і :

, (7)

де Т – постійна часу індуктивності L.

4.         З цілю лінеаризації рівняння представимо його в такому вигляді

, (8)

де і

5.    Припустивши, що початкова умова рівна нулю, виконуємо перехід від оригіналу до зображення по Лапласу

, (10)

де ;

(11)

6.    Складаємо передаточну функцію L – R – ланцюга. У відповідності з визначенням передаточної функції

Коротка класифікація передаточних функцій (ПФ) за типами ланок та їх поведінкою представлена на рисунку 2

Рисунок 2 – Класифікація ланок

Завдання для виконання

1.    Інерційна ланка. Дано: Нагрівач має сталу часу T=1 с і коефіцієнт передачі K=1 K = 1 K=1. Вхід - температура Tвх(t), вихід - температура Tвих(t).

Завдання: Записати диференціальне рівняння та знайти передаточну функцію.

2.    Інтегруюча ланка. Дано: Резервуар наповнюється зі швидкістю Q(t)=2 л/с, площа A=4 м2. Вихід - рівень води h(t)

Завдання: Скласти диференціальне рівняння та визначити передаточну функцію.

3.    Диференціююча ланка. Дано: Датчик видає сигнал U(t)=0.1⋅dωdt, де ω(t) – швидкість вала.

Завдання: Записати диференціальне рівняння та передаточну функцію.

4.    Інерційна ланка другого порядку. Дано: Пружина з масою m=1 кг, жорсткістю k=1 Н/м, без тертя (b=0). Вхід - сила F(t), вихід - зміщення x(t).

Завдання: Скласти диференціальне рівняння та знайти передаточну функцію.

5.    Аперіодична ланка. Дано: Система з двома затримками: T1=1 с, T2=2 с, K = 1. Вхід - температура, вихід - температура на виході.

Завдання: Визначити передаточну функцію та намалювати структурну схему.

6.    Запізнююча ланка. Дано: Сигнал доходить із затримкою τ=2 с, K=1. Вхід - тиск Pвх(t), вихід - тиск Pвих(t). Завдання: Записати передаточну функцію та описати її дію.

7.    Електродвигун (інерційна ланка) Дано: Двигун із T=2 с, K=2. Вхід - напруга U(t), вихід - швидкість ω(t). Завдання: Записати диференціальне рівняння та знайти передаточну функцію

8.    Генератор постійного струму. Дано: Генератор із K=1 с/рад, опір R=2 Ом, індуктивність L=1 Гн. Вхід - швидкість ω(t), вихід-напруга E(t). Завдання: Скласти диференціальне рівняння та визначити передаточну функцію.