Тема 16. Випадкові та нелінійні системи автоматичного керування

У лекції розглядаються випадкові та нелінійні системи автоматичного керування (САК). Обговорюються випадкові процеси, їх класифікація та роль у моделюванні збурень і шумів. Аналізуються нелінійні САК, їх особливості, стійкість, автоколивання та методи лінеаризації. Розглядаються структурна стійкість і нестійкість, а також динаміка нелінійних систем другого порядку з використанням фазової площини.

16.1. Уявлення про випадкові процеси

Випадкові системи автоматичного керування — це системи, в яких присутні випадкові впливи, такі як шум, збурення або невизначеність параметрів. Вони аналізуються з використанням теорії ймовірностей і стохастичних процесів. Основні аспекти:

Випадкові процеси є ключовим поняттям у теорії ймовірностей і стохастичних систем, зокрема в автоматичному керуванні. Вони описують еволюцію випадкових величин у часі. Ось основні уявлення про випадкові процеси:

Випадковий процес — це сукупність випадкових величин {X(t)} , визначених на ймовірнісному просторі, де t — параметр часу (безперервний або дискретний). Кожен X(t) є випадковою величиною, а траєкторія процесу (реалізація) — це функція x(t).

Випадкова величина — це величина, значення якої залежить від некерованих факторів і не може бути точно передбачене. Якщо випадкова величина втратила окремі значення з обмеженої множини, вона називається дискретною. Якщо ж вона може отримати будь-які значення в певному інтервалі, вона називається безперервною. Для безперервної випадкової величини ймовірність прийняття конкретного, заздалегідь заданого значення є нескінченно малою.

Класифікація випадкових процесів:

1.  За типом часу:

–  безперервний час: t∈R. Процес, де час є неперервною величиною. Приклади: білий шум у стохастичних диференціальних рівнях, Вінерівський процес (Броунівський рух). Застосування: моделювання шумів у фізичних системах (наприклад, турбулентність в авіації, теплові шуми в електроніці).

– дискретний час: t∈Z. Процеси, де значення визначені в дискретні моменти часу (наприклад, вибірки даних). Приклади: дискретний білий шум, часові ряди в цифрових системах. Застосування: цифрове керування, обробка сигналів із сенсорів (наприклад, у робототехніці).

2.  За типом значень:

– безперервні: X(t) приймає значення з R. Випадкові величини X(t) приймають значення з континууму. Приклади: гаусівський процес, який моделює температуру, напругу або позицію об'єкта. Застосування: оцінка стану в системах із аналогічною природою (наприклад, інерційні навігаційні системи).

– дискретні: X(t) приймає скінченну кількість значень (наприклад, стани системи). X (t) значення з кінцевої або збільшеної множини (наприклад,{0,1}або цілі числа). Приклади: процес Пуассона (події в часі), марківські ланцюги. Застосування: моделювання стрибкоподібних змін (наприклад, перемикання режимів у гібридних системах).

За статистичними властивостями:

1.  Стаціонарні процеси: cтатистичні характеристики (математичне сподівання, дисперсія, коваріація) не залежать від часу; вузькостаціонарні: лише перші два моменти (мат. сподівання, коваріація) незмінні; широкостаціонарні: усі ймовірні розподіли незмінні при зсуві часі.

Приклади: білий шум, стаціонарний гаусівський процес. Застосування: аналіз частотних характеристик системи, проектування фільтрів.

2.  Нестаціонарні процеси : характеристики змінилися з часом.

Приклади: Вінерівський процес (дисперсія зростає з часом), процеси зі змінною інтенсивністю. Застосування: система моделювання із еволюціонуючими умовами (наприклад, деградація обладнання).

Основні характеристики:

1. Математичне сподівання: E[X(t)]=μ(t) .

2.  Дисперсія: Var[X(t)]=E[(X(t)−μ(t))^2]

3.  Коваріаційна функція: K(t1,t2)=E[(X(t1)−μ(t1))(X(t2)−μ(t2))] описує залежність між значеннями процесу в різні моменти.

4.  Спектральна щільність: відображає розподіл енергії процесу за частотами (для стаціонарних процесів).

5. Розподіл ймовірностей: одномірний (для X(t)) або багатовимірний (для X(t1),X(t2),… X(t_1), X(t_2)).

За розмірністю:

1.  Одновимірні процеси : X(t) - скалярна величина. Приклад: шум одного сенсора.

Застосування: прости системи з одним джерелом шуму.

2.  Багатовимірні процеси : X(t) - вектор. Приклад: шум у системі з кількома сенсорами (наприклад, акселерометр + гіроскоп). Застосування: складні системи, такі як навігація або керування роботами.

16.2. Нелінійні системи автоматичного керування

Нелінійними системами автоматичного керування (САК) називають системи, математичний опис яких не відповідає умовам лінійності. Умови лінійності передбачають, що при зміні зовнішнього впливу на систему або її елемент у a разів перехідний процес зберігає свій характер, а вихідна величина змінюється лише пропорційно у a разів. Якщо хоча б один елемент системи є нелінійним, уся система вважається нелінійною.

Нелінійні елементи описуються нелінійними рівняннями, для яких характерна залежність коефіцієнтів від координат системи чи їхніх похідних, а також наявність добутків координат або їхніх похідних у рівняннях.

Усі реальні САК електроприводів є нелінійними через присутність електричних машин із феромагнітними матеріалами. Рівняння, що описують динаміку електричних машин, нелінійні, оскільки індуктивність залежить від струму, а електрорушійна сила (ЕРС) нелінійно змінюється через насичення магнітної системи залежно від струму збудження. Крім того, електроприводи включають підсилювачі з насиченням, механічні передачі з люфтами, сухим тертям та іншими нелінійними компонентами.

Методи теорії лінійних САК можна застосовувати до реальних електроприводів лише за умови малих відхилень від досліджуваного режиму, коли нелінійна система лінеаризується відповідними методами. Проте в багатьох САК нелінійні елементи використовуються навмисно для обмеження координат.

Аналіз і синтез нелінійних САК значно складніші, ніж для лінійних систем, через різноманітність і складність динамічних процесів у нелінійних системах.

Нелінійні елементи САК дуже різноманітні. Деякі з них у обмеженому діапазоні вхідного сигналу мають характеристики, близькі до лінійних. Такі нелінійності вважаються слабкими або несуттєвими. Після їхньої лінеаризації систему можна досліджувати методами лінійних САК. Інша група — суттєво нелінійні елементи, характеристики яких не дозволяють лінійного наближення. Вони надають системі якісно нових властивостей і часто описуються розривними або наближеними до розривних функцій.

Суттєво нелінійні характеристики зазвичай ідеалізують, замінюючи їх кількома лінійними ділянками, кожна з яких описується окремим рівнянням. У точках переходу між ділянками похідна зазнає розриву, тобто має різні значення при наближенні до точки з різних сторін. Ідеалізація дозволяє звести суттєво нелінійні характеристики до кількох типових форм, які найчастіше зустрічаються в практиці.

, (16.1)

де - вихідна і вхідна змінні, - нелінійна функція.

Стійкість нелінійних систем, на відміну від лінійних, залежить не лише від їхніх власних параметрів, а й від величини зовнішніх впливів та точок їхнього застосування. Тому стійкість або нестійкість нелінійної системи не є абсолютною характеристикою — вона визначається для конкретних режимів роботи системи при різних рівнях зовнішніх впливів.

Особливим динамічним режимом нелінійних систем є автоколивання.
Автоколивання — це незгасаючі періодичні коливання, які виникають у нелінійних системах без дії зовнішніх періодичних сил. Їхня амплітуда та частота залежать виключно від внутрішніх параметрів системи.

Численні особливості динаміки нелінійних систем можна дослідити на прикладі систем другого порядку, використовуючи двовимірний фазовий простір, або фазову площину.

За координати фазової площини приймають відхилення вихідної величини від її значення, що відповідає усталеному режиму системи, і похідну цього відхилення. Усталеному стану системи другого порядку відповідає початок координат у фазовій площині. Під дією будь-якого впливу, що виводить систему з цього стану, зображальна точка починає рух у фазовій площині. У процесі перехідного режиму змінюються вихідна величина x і її похідна y, що спричиняє рух зображальної точки вздовж фазової траєкторії. Початкова позиція зображальної точки визначається початковими умовами вільного руху системи.

Питання для самоперевірки

1.        Як аналізувати випадкові системи в автоматичному керуванні?

2.        Що таке нелінійність у системах керування?

3.        Як моделюються випадкові процеси в керуванні?

4.        Які методи стабілізації нелінійних систем існують?

5.        Як управляти випадковими системами за умов шуму?