Тема 12. Якість лінійних неперервних систем

Якість лінійних неперервних систем автоматичного керування визначається її здатністю ефективно реагувати на вхідні сигнали, забезпечуючи мінімальні відхилення від бажаного стану при найменших витратах ресурсів. Основними характеристиками якості є точність, стабільність, швидкість відгуку та стійкість. Точність визначається здатністю системи підтримувати заданий вихід, стабільність — її здатністю повертатися до рівноваги після збурень, а швидкість відгуку — швидкістю, з якою система досягає нового стану. Висока якість системи досягається через оптимальний вибір параметрів, коригуючі ланки і відповідні методи аналізу та проектування.

12.1. Перехідні процеси

Розв’язання завдання автоматичного керування об’єктом залежить не тільки від стійкості САК, але й від інших показників, які в загальному випадку часто об'єднують єдиним поняттям – „якість системи керування”, що характерно лише для стійких систем. Якість системи оцінюється багатьма показниками, серед них основними є: характер (вигляд) перехідного процесу, тривалість перехідного процесу, перерегулювання, точність (похибка) системи та інші, специфічні для окремих видів перехідних процесів.

За характером перехідні процеси поділяються на наступні види (табл. 12.1).

«Монотонними є перехідні процеси, при яких відхилення регульованої величини x від встановленого значення x₀ плавно зменшується, без зміни знака похідної .

Коливальним називають перехідні процеси, при яких в системі існують гармонічні коливання з деяким періодом Т і амплітудою, що поступово зменшується.

Таблиця 12.1 – Характер перехідних процесів

№	Назва процесу	Характеристика	Графік
1.	Монотонний	Плавне зближення до сталого значення без перерегулювання та коливань.
2.	Коливальний	Затухаючі коливання навколо встановленого значення.
3.	Аперіодичний з перерегулюванням	Перевищення цільового значення з незначними затухаючими коливаннями, але без періодичних коливань.

Аперіодичними процесами перерегулювання називають перехідні процеси, при яких керована величина набуває уставленого значення після одного, двох, або більше коливань з різними періодами (неперіодичні процеси) при наявності перерегулювання» [3].

Якість характеризується наступними показниками:

1.     Перерегулювання – максимальне відхилення керованої величини в бік, протилежний початковому відхиленню від встановленого значення.

2.     Тривалість (швидкодія) практично визначається часом t_n, за який відхилення Δx від заданого значення стане меншим за деяку достатньо малу величину ε (теоретично тривалість перехідного процесу t_n=).

3.     Відхилення (похибку) Δx, яке виникає після закінчення перехідного процесу, називають статистичною помилкою (похибкою), а відхилення Δx(t), яке з'являється в перехідному процесі і відображає відхилення деякого значення регульованої величини у відповідний момент часу від величини x₀ – динамічною похибкою.

4.     Ступінь затухання перехідного процесу ψ є показником, що характеризує коливальні процеси. Її визначають за формулою:

(12.1)

Чим більше значення ψ, тим швидше затухає перехідний процес.

Іноді для оцінки коливальних процесів використовують показник якості, який називають логарифмічним декрементом затухання. Він визначається як натуральний логарифм відношення амплітуд одного знака двох послідовних періодів:

(12.2)

Чим більшою є величина d, тим швидше затухає перехідний процес.

5.   Ступінь коливальності – показник, який визначається частотою власних коливань системи, що залежить від конструктивних особливостей об’єкта і системи керування в цілому. Період коливань , число коливань за секунду

Відношення уявної частини комплексного кореня до його дійсної частини μ називають коливальністю перехідного процесу. Чим більша величина μ, тим більше коливань за одиницю часу матиме дана система.

Ширина смуги пропускання – це показник якості САК при використанні частотних характеристик, який визначається інтервалом частот, при яких амплітуда синусоїдального вхідного сигналу розімкнутої системи становить менше 30%.

12.2. Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

Рівняння незбурених (вільних) коливань описує, як система поводиться сама по собі, без зовнішнього впливу. Інакше кажучи, воно моделює поведінку системи, коли після первинного збурення (наприклад, відхилення або імпульсу) вона «залишається наодинці» і функціонує лише за рахунок своїх внутрішніх властивостей. На основі цього рівняння можна оцінити динамічну якість системи — тобто, наскільки швидко, плавно і стабільно вона повертається до рівноважного стану після відхилення.

Таке рівняння дозволяє:

–        з’ясувати, чи система є стійкою, тобто чи повернеться вона до рівноваги з часом, чи навпаки — її коливання наростатимуть;

–        визначити наявність перерегулювання, тобто чи перевищить система бажаний рівень перед тим, як стабілізуватися;

–        оцінити характер коливань — чи будуть вони загасати, чи система буде аперіодично знижувати відхилення;

–        визначити час реакції — наскільки швидко система виходить на встановлений рівень.

Ці властивості залежать від власної частоти (ω) та коефіцієнта загасання (ζ) системи:

1.     Власна частота визначає, як швидко система здатна реагувати.

2.     Коефіцієнт загасання показує, наскільки інтенсивно затухають коливання або як швидко зменшується відхилення від рівноваги.

Саме ці параметри формують характер перехідного процесу: чи буде він повільним чи швидким, коливальним чи аперіодичним і чи буде перевищення встановленого значення.

Таким чином, рівняння незбурених коливань є базовим інструментом аналізу динаміки. Воно дає змогу оцінити якість роботи системи управління ще до її практичної реалізації, допомагає оптимізувати параметри регулювання і забезпечити потрібний рівень швидкодії, точності та стабільності.

На базі цього рівняння обчислюються конкретні показники якості перехідного процесу, які широко використовуються на практиці (табл. 12.2):

Таблиця 12.2 – Показники якості перехідного процесу

№	Показник	Що характеризує?
1	Час наростання	Як швидко система досягає 90% значення
2	Час запізнення	Затримку перед реакцією
3	Час встановлення	Коли вихід входить у допустимий інтервал
4	Максимальне перерегулювання	Наскільки система «перестрибує» через ціль
5	Кількість коливань	Наскільки сильно й довго система коливається

Питання для самоперевірки

1.     Що таке якість роботи системи?

2.     Що показує час перехідного процесу?

3.     Що таке перерегулювання?

4.     Чому важливо, щоб система працювала швидко?

5.     Як можна порівняти дві системи за якістю?