Анотація
5.1. Предмет та
основні завдання вищих фінансових обчислень. Суть відсотків, відсоткових
ставок, їх види.
5.2. Прості та
складні відсотки.
5.3. Дисконтування.
5.4.
Еквівалентність відсоткових ставок.
5.5. Фінансові
потоки, їх значення та характеристика.
Ключові слова: нарощення; множник нарощення; відсотки; період
нарахування; декурсивні та авансові відсотки; відсоткова ставка; капіталізація
суми боргу; декурсивна і облікова ставки, фіксована і плаваюча ставки; прості і
складні відсотки; звичайні, комерційні і точні відсотки; дисконтування і
дисконт; еквівалентність; номінальна ставка і ставка ефективності; фінансовий
потік; фінансова рента; нарощена сума ренти; поточна вартість ренти.
5.1. Предмет та основні завдання вищих фінансових обчислень. Суть
відсотків, відсоткових ставок, їх види.
Кількісні характеристики фінансових операцій
утворюють взаємозв’язану та взаємообумовлену систему показників. Ця система
показників виступає предметом дослідження вищих фінансових обчислень
(фінансової математики). Показники фінансових операцій обчислюються,
оцінюються, прогнозуються методами фінансових обчислень. Вищі фінансові
обчислення (в літературі зустрічаються рівнозначні терміни - фінансова математика
або фінансові та комерційні розрахунки) виступає основою кількісного аналізу
фінансових операцій.
До основних завдань вищих фінансових обчислень
відносяться:
• визначення
залежності кінцевих результатів операції від її основних параметрів;
• вимірювання кінцевих
фінансових результатів операції для кожного учасника;
• визначення
граничних значень для характеристик фінансової операції та розрахунок
параметрів оптимальної зміни початкових умов операції;
• розробка планів
виконання фінансових операцій.
Методи фінансових розрахунків розподіляються на
загальні та специфічні, які застосовуються при виконанні особливого класу
фінансових операцій та угод, які потребують адаптації загальних методів і
виконуються на основі документарних даних. Значна кількість методів,
розрахунків та залежностей у фінансових обчисленнях ґрунтуються на принципі зміни
вартості грошей з плином часу (time-value of money), або враховують часовий
вплив на характеристики фінансових операцій. Цей принцип пов’язаний з
можливістю інвестування фінансових ресурсів та отриманням доходів (збитків) від
фінансових операцій в майбутньому, а також з можливістю інфляційних впливів на
вартість фінансових ресурсів.
Збільшення величини вартісного показника у зв’язку з
нарахуванням відсотків називають нарощенням або зростанням цього
показника (іноді говорять «компаудінг»). Можна розрахувати множник нарощення
(коефіцієнт нарощення) – відносний показник, який обчислюється через
відношення нарощеної суми до початкового розміру величини грошей. Множник
нарощення демонструє у скільки разів нарощена сума більше від початкової. За
змістом цей показник є базовим темпом зростання. Поняття відсотків у вищих
фінансових обчисленнях пов’язано з принципом платності в кредитних операціях.
Під відсотками (відсотковими грошима) розуміють плату за надані в
користування фінансові ресурси. Таким чином, відсотки – це величина
доходу від фінансової операції позичання фінансових ресурсів. Відсотки у вищих
фінансових обчисленнях розраховуються у грошових одиницях, на відміну від звичайних
економічних, математичних, побутових розрахунків, де відсотки обчислюються в
процентах та являють собою певну кількість сотих частин досліджуваного
показника.
Відсотки нараховують періодично. Часовий інтервал
між нарахуваннями відсотків називають періодом нарахування. Періодом
нарахування можуть бути рік, півріччя, квартал, місяць, тиждень, день і навіть
година. Якщо фінансова операція відбувається один раз говорять про термін
фінансової операції. За моментом нарахування розрізняють декурсивні та авансові
відсотки. Декурсивні (позикові, постнумерандо) відсотки нараховуються
наприкінці періоду нарахування. Авансові (антисипативні, облікові,
дисконтні, преднумерандо) відсотки нараховуються перед початком періоду
нарахування. Відсотки можуть сплачуватись позичальником у відповідності до їх
нарахування або приєднуватись до основної суми боргу. Відношення величини
відсотків за фіксований період часу до позиченої суми (величини кредиту)
називають відсотковою ставкою. Відсоткова ставка вимірюється у процентах
(%) та показує відносну величину доходу за фіксований проміжок часу. Відсоткову
ставку також використовують для вимірювання доходності різних фінансових
операцій (інвестиційних, кредитних, комерційно-господарських) незалежно від
наявності самого процесу зростання грошей. Відповідно до розглянутих видів
відсотків розрізняють декурсивну ставку відсотків та облікову
(авансову, антисипативну, дисконтну). Декурсивна ставка дістала більшого
поширення в практиці, тому її звичайно називають відсотковою ставкою, опускаючи
«декурсивна». Відсотки можуть нараховуватись дискретно, тобто за визначені,
фіксовані проміжки часу, тоді їх називають дискретними відсотками
(відповідно, дискретні відсоткові ставки). Відсотки також можуть
нараховуватись безперервно, за нескінченно малі проміжки часу, тоді вони
називаються безперервними. Безперервні відсотки на практиці зустрічаються
нечасто. В основному вони застосовуються в аналітичних фінансових розрахунках,
теоретичних доведеннях. Відсоткові ставки бувають фіксовані та плаваючі. Постійна
фіксована відсоткова ставка встановлюється на весь строк угоди , змінна
фіксована ставка має сталі, але різні рівні на певні інтервали часу дії
угоди. Плаваюча ставка утворюється додаванням до змінюваної в часі
базової ставки спеціальної надбавки - маржі. Маржею, в даному випадку,
називають додаткову ставку відсотків, яка забезпечує необхідну прибутковість
фінансової операції.]
5.2. Прості та складні відсотки.
Обчислення простих відсотків. Розглянемо варіанти нарощення величини
вартісного показника при нарахуванні відсотків. Нараховувати відсотки можна
весь час від однієї і тієї ж суми, як правило, початкової (постійна база
нарахування), тоді нараховані відсотки називають простими. Формула
нарахування простих відсотків за декурсивною ставкою відсотків (і):
W P in 0 = і,
де W – відсотки; P0 – початкова сума; i
– декурсивна ставка відсотків; n – число періодів нарахування.
Нарощена сума включає початкову суму та відсотки:
0 S = P +W = P + P in = P + ni .
Таким чином, схема розрахунку нарощеної суми
(вартості) (S) за схемою простих відсотків (декурсивна ставка відсотків)
має формулу:
0 S = P + in .
Вираз (1+ in) називають
декурсивним множником нарощення простих відсотків.
Прості відсотки застосовуються, як правило, в
короткотермінових фінансових операціях.
Складні відсотки мають широке застосування у
фінансових обчисленнях зокрема та економічних розрахунках загалом. Їх формули розрахунку
використовують як для довгострокових, так і для короткострокових розрахунків.
Врахування інфляції в розрахунках складних
відсотків. При застосуванні схем складних відсотків інфляцію враховують за
допомогою індексу купівельної спроможності грошей (Ікс). Цей індекс зворотній
до індексу інфляції (Іінф).
5.3. Дисконтування.
Нарощення відбувається з плином часу. Якщо
розглянути процес кількісної зміни величини у зворотному порядку, побачимо
зменшення величини грошей. Такий метод розрахунку називають дисконтуванням.
Іншими словами, дисконтування – це визначення величини вартісного
показника на заданий момент часу (інколи кажуть: зведення вартісного показника
до заданого моменту часу). Різницю між значеннями вартісного показника за різні
моменти часу називають дисконтом.
Банківське дисконтування (облік).
Для банківського дисконтування, яке частіше
називають обліком, використовують облікову ставку відсотків (d). Поточну суму
боргу (Р) можна обчислити за наступними формулами:
1) просте дисконтування:
P = S(1− dn) ,
де (1− dn) - простий
дисконтний множник (величина обернена до множника нарощення простих відсотків
за обліковою ставкою);
2) складне дисконтування:
P = S(1− d)n ,
де (1− d)n -
складний дисконтний множник (величина обернена до множника нарощення складних
відсотків за обліковою ставкою).
Банківське дисконтування (банківський або
комерційний облік) часто застосовують в своїй практиці банки, купуючи фінансові
зобов’язання. Ціна купівлі нижча за кінцеву суму боргу при погашенні
фінансового зобов’язання і становить поточну вартість даного зобов’язання.
Поточна вартість фінансового зобов’язання визначається через дисконтування
кінцевої суми боргу наприкінці строку зобов’язання. В день погашення боргового
зобов’язання кінцева сума боргу сплачується банку. Різниця між поточною сумою
фінансового зобов’язання (ціною купівлі цього зобов’язання банком) та кінцевою
сумою боргу – це сума дисконту, дохід банку. Можливість продажу та купівлі
фінансових зобов’язань збільшує фінансові можливості, гнучкість та зручність
проведення фінансових операцій учасниками фінансового ринку. Продаж та купівля
векселів є різновидом подібних операцій продажу та купівлі фінансових
зобов’язань. Вексель – грошове зобов’язання векселедавця сплатити власнику
векселя (векселетримачу) після настання строку визначену суму. Номінал векселя
(сума написана на векселі) це кінцева сума боргу, яку повинен сплатити
векселедавець векселетримачу в день, вказаний на векселі (день погашення). При
купівлі векселя у власника векселя до дня погашення проводиться операція обліку
векселя (банківське дисконтування). Вексель є засобом платежу і обігу.
Переказним векселем векселетримач може розрахуватись за товар з третьою особою,
при цьому ціна товару повинна відповідати вартості векселя на даний момент часу.
Відстрочка платежу не повинна перевищувати строк до погашення векселя. За
проведення операції обліку векселя банк звичайно забирає невеликі комісійні –
процент від дисконтованої суми. Тобто операція обліку платна, як і багато інших
фінансових операцій.
5.4. Еквівалентність відсоткових ставок.
Принцип еквівалентності у фінансових
операціях означає, що при змінах в угодах та контрактах, фінансові зобов’язання
залишаються незмінними. Цей принцип підтримує довіру партнерів та
беззбитковість сторін при змінах в контрактах. Еквівалентними називають
різні за видом та схемами обчислення відсоткові ставки, які в однотипних
фінансових операціях дають однакові кінцеві результати.
5.5. Фінансові потоки, їх значення та характеристика.
В сучасному фінансовому аналізі часто виникає
потреба в оцінюванні та зміні не окремого платежу, а деякої послідовності
платежів. З послідовними платежами зустрічаються в інвестиційних процесах,
пенсійних платежах, нарахуванні абонентської плати та в багатьох інших
випадках. Множину розподілених в часі платежів називають фінансовим потоком
або потоком платежів. Загалом, кожен навіть окремий платіж теоретично можна
представити як потік платежів, що складається з одного члена потоку. Члени
потоку платежів можуть бути як додатними величинами, так і від’ємними.
Фінансовою рентою (або ануїтетом) називають фінансовий потік платежів, величини
всіх членів якого додатні, часові інтервали між двома послідовними платежами
постійні, незалежно від походження та призначення цих платежів. Фінансовими рентами
є, наприклад, виплати споживчого кредиту, пенсійні платежі, абонентська плата
за телефон, створення амортизаційного фонду та ін. Введемо позначення
параметрів ренти:
• член ренти (R) – величина
кожного окремого платежу;
• період ренти (p) – часовий проміжок
між двома послідовними платежами;
• строк ренти (n) – час від
початку ренти до кінця останнього періоду;
• відсоткова ставка (i, d) – ставка
відсотків, яка використовується для нарощення або дисконтування членів ренти.
Ренти розрізняють за наступними ознаками [4]:
1) за тривалістю періоду ренти бувають: - річні (p=1);
- p-термінові (p≠1).
2) за частотою платежів: - дискретні (періодична
сплата); - неперервні (дуже часто сплачуються, практично безперервно).
3) за частотою нарахувань відсотків: - нарахування
один раз на рік; - нарахування m раз на рік.
4) за величиною членів: - постійні (з рівними
членами); - змінювані (з різними членами).
5) за числом членів: - обмежені (скінчене
число членів); - необмежені, «вічні» (нескінчене число членів).
6) за ймовірністю здійснення платежів: - безумовні
правильні (платежі здійснюються обов’язково); - умовні (число членів
наперед невідоме).
7) за моментами виплат: - звичайні, постнумерандо
(платежі здійснюють наприкінці періоду); - авансові, преднумерандо (платежі
вносять на початку кожного періоду).
8) за відповідністю початку ренти і певного
фіксованого моменту часу (початок дії контракту, час оцінки ренти): - термінові
(обидва моменти збігаються); - відстрочені, відкладені (початок
строку ренти запізнюється відносно вказаного моменту).
Нарощена сума ренти являє собою суму
членів ренти, нарощених за весь період ренти. Розглянемо розрахунок нарощеної
суми обмеженої річної ренти постнумерандо. Розрахунок проводиться на кінець
строку ренти. В кінці строку ренти різні платежі будуть мати різну величину,
оскільки, платежі внесені в різний час, і до кожного платежу приєднана різна
кількість відсоткових грошей:
Величина останнього платежу складатиме - R;
Величина передостаннього платежу складатиме - R(1+і)1
Величина третього платежу складатиме - R(1+і)n-3
Величина другого платежу складатиме - R(1+і)n-2
Величина першого платежу складатиме - R(1+і)n-1
В кінці строку ренти сума всіх нарощених членів
ренти (S) складатиме:
S = R + R(1+і)1 + … + R(1+і)n-3 + R(1+і)n-3 +
R(1+і)n-2 + R(1+і)n-1
Ця послідовність являє собою геометричну прогресію з
першим членом R і знаменником прогресії (1+і). Підставимо
параметри прогресії у формулу суми членів скінченої геометричної прогресії та
отримаємо формулу нарощеної суми обмеженої річної ренти постнумерандо.