1.2 Математична модель

 

Формалізований математичний опис оптимізаційної задачі, інакше кажучи, математична модель містить у собі:

· цільову функцію;

· обмеження;

· граничні умови.

Цільова функція являє собою математичний запис критерію оптимальності. При розв’язуванні оптимізаційної задачі шукається екстремум цільової функції, наприклад мінімальні витрати або максимальний прибуток. Узагальнений запис цільової функції має такий вигляд:

                                            (1.1)

де  ‑ шукані змінні, значення яких обчислюються у процесі розв’язку завдання; загальна кількість змінних дорівнює n.

Шукані змінні за своїм характером діляться на безперервні, дискретні й цілочисельні. Якщо змінна може приймати будь-які значення, така змінна називається безперервною. Прикладом безперервної змінної може служити потужність, передана лінією електропередачі.

Якщо змінна може приймати тільки значення цілих чисел, така змінна називається цілочисельною. Прикладом цілочисельної змінної може служити кількість трансформаторів для електропостачання об'єкта або кількість виробів, що випускаються промисловим підприємством. Якщо змінна може приймати тільки певні значення, така змінна називається дискретною. Прикладом дискретної змінної може служити шукана потужність трансформатора або шуканий перетин лінії електропередачі. Значення таких величин регламентуються нормативними документами. Наприклад, потужності трансформаторів становлять ряд … 630, 1000, 1600 … кВА, а перетину лінії електропередачі ‑ ряд ... 50, 70, 95 ... мм². Розповсюдженим завданням з дискретними змінними є завдання вибору варіанта з числа заданих.

Залежність між змінними в цільовій функції (1.1) може бути лінійною або нелінійною. Нагадаємо, що лінійною називається така залежність, у яку змінні входять тільки в першій степені й з цими змінними виконуються тільки дії додавання, віднімання й множення на постійний коефіцієнт. У всіх інших випадках залежність буде нелінійною.

Нелінійна цільова функція в заданому діапазоні зміни змінних може мати один екстремум або декілька екстремумів. У першому випадку функція буде одноекстремальною, в другому ‑ багатоекстремальною. На рис.1.1 наведені приклади одноекстремальної (один мінімум) і багатоекстремальної (два мінімуми й один максимум) функції однієї змінної в діапазоні зміни цієї змінної .

а)                                                       б)

Рис. 1.1. Одноекстремальна (а) і багатоекстремальна (б) функції

 

У випадку багатоекстремальної функції кожний екстремум називається локальним. У багатоекстремальних функціях шукається глобальний екстремум (найменший мінімум або найбільший максимум). Так при відшуканні мінімуму функції, наведеної на рис. 1.1,б шукається глобальний мінімум, що відповідає точці 3.

Обмеження являють собою різні технічні, економічні, екологічні умови, що враховуються при розв’язку задачі. Обмеження являють собою залежності між змінними , що задаються у формі нерівностей або рівностей:

                                         (1.2)

Загальна кількість обмежень дорівнює m. Праві частини обмежень, що представляють собою постійні коефіцієнти  (j=1, 2, ... m), називаються вільними членами. Як і у виразі цільової функції (1.1), залежності між змінними в системі обмежень (1.2) можуть бути лінійними й нелінійними.

Наявність у системі обмежень (1.2) співвідношень у формі нерівностей (неповних рівностей) створює додаткові труднощі при розв’язуванні оптимізаційної задачі, оскільки на відміну від строгої рівності нерівності являють собою до певної міри невизначеність. Наприклад, у нерівності  не зрозуміло наскільки його ліва частина менше 4.

Зрозуміле прагнення перейти від обмежень нерівностей до рівностей. Для такого переходу використовується наступний штучний прийом. Нехай маємо зазначену вище нерівність, ліва частина якої на невідому заздалегідь величину менше 4. Позначимо цю невідому величину як додаткову невід’ємну змінну  і додамо її до лівої частини нерівності. Остання перетворюється в строгу рівність:

Аналогічно неповна рівність типу:

перетворюється в строгу рівність:

Співвідношення типу:

  і 

після зміни знаків правої й лівої частин зводяться до вже розглянутих випадків.

Таким чином, за рахунок введення додаткових змінних всі нерівності в системі обмежень (1.2) замінюються строгими рівностями. При цьому загальна кількість n шуканих змінних збільшується.

Припустимо, що всі m обмежень є рівностями. При n = m система (1.2) має єдиний розв’язок. Наприклад, одне рівняння m=1 з одним невідомим n=1:

має єдиний розв’язок х₁=2. Тому у випадку n=m немає місцю оптимізації.

При n < m система (1.2) не має розв’язку і, отже, вибирати оптимальний розв’язок немає з чого. Наприклад, система із двох рівнянь m=2 з одним невідомим n=1

не має розв’язку.

При n > m система (1.2) має нескінченну множину розв’язків, з яких можна вибрати оптимальний розв’язок. Наприклад, одне рівняння m=1 із двома невідомими n=2:

має нескінченну множину розв’язків: х₁=0, х₂=4; х₁=1, х₂=3; х₁=5, х₂= -1; ...  Отже, пошук оптимального розв’язку можливий лише у випадку, коли n > m.

Граничні умови встановлюють діапазон зміни шуканих змінних,

                                                   (1.3)

де  і  ‑ відповідно нижня й верхня границі діапазону зміни змінної .

Найчастіше в технічних задачах всі шукані змінні, як правило, додатні. У цьому випадку граничні умови мають такий вигляд:

 де                                            (1.3а)

При наявності обмежень і граничних умов шукається вже не абсолютний, а відносний екстремум цільової функції. На рис.1.2 показано деяку функцію одної змінної Z(x). Зазначений діапазон зміни змінної х (нижня границя d і верхня границя D). Видно, що абсолютний мінімум функції відповідає точці 1, а відносний мінімум ‑ точці 2, що належить заданому діапазону зміни змінної х.

Рис. 1.2. Абсолютний (точка 1) і відносний (точка 2) мінімуми функції