4.4 Метод неозначених множників Лагранжа

 

Природно, що розв’язок задач умовної оптимізації є значно складнішим ніж розв’язок задач безумовної оптимізації. Природне прагнення зведення задачі умовної оптимізації (пошуку відносного екстремуму) до більш простої задачі безумовної оптимізації (пошуку абсолютного екстремуму). Така процедура здійснюється в методі Лагранжа. Розглянемо сутність цього методу.

Необхідно знайти умовний екстремум нелінійної функції:

                                (4.14)

при n змінних та m обмеженнях:

                                (4.15a)

Обмеження-нерівності перетворяться в рівності, а вільні члени переносяться в ліві частини обмежень, тобто система (4.15а) приводиться до виду:

                               (4.15)

Відповідно до методу Лагранжа замість відносного екстремуму функції (4.14) при обмеженнях (4.15) шукається абсолютний екстремум функції Лагранжа, що має наступний вигляд:

       (4.16)

де  ‑ неозначені множники Лагранжа, що є, як і змінні , шуканими змінними.

Видно, що у функцію Лагранжа входить цільова функція плюс кожне обмеження помножене на множник Лагранжа.

Доведено, що відносний екстремум цільової функції (4.14) при обмеженнях (4.15) збігається з абсолютним екстремумом функції Лагранжа (4.16).

Пошук абсолютного екстремуму функції (4.16) виконується відомими методами. Зокрема, визначаються й прирівнюються до нуля часткові похідні функції Лагранжа:

(4.17)

Останні m рівнянь являють собою обмеження (4.15) оптимізаційної задачі.

Система (4.17) містить (m+n) рівнянь і таку ж кількість невідомих.

Розв’язок системи (4.17) дасть координати абсолютного мінімуму функції Лагранжа (4.16) або відносного мінімуму цільової функції (4.14) при обмеженнях (4.15).

Розв’язок системи (4.17) виконується відомими методами обчислювальної математики. Якщо система (4.17) лінійна, використовується, як правило, метод Гауса. Якщо система (4.17) нелінійна – метод Ньютона.