4.2 Графічна ілюстрація задачі нелінійного програмування

 

Графічну ілюстрацію нелінійної оптимізаційної задачі розглянемо для випадку двох змінних х₁ і х₂. Нехай нелінійна цільова функція

                                    (4.6)

має вигляд, показаний на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Нелінійна цільова функція і її подання лініями однакового рівня

 

Перетнемо функцію Z площинами, паралельними горизонтальній площині х₁, х₂. Точки перетину спроектуємо на площину х₁, х₂. На площині х₁, х₂ одержимо замкнуті концентричні криві. На кожній із цих замкнутих кривих значення цільової функції є незмінним:

                                         (4.7)

Отримані замкнуті криві називаються лініями однакового рівня цільової функції Z. Нагадаємо, що для лінійної задачі лінії однакового рівня являли собою прямі лінії (рис. 2.2).

Таким чином, нелінійну функцію двох змінних Z(x₁,x₂) можна представити у двомірній площині х₁, х₂ лініями однакового рівня Ці концентричні лінії стягуються в точку з координатами х₁₀ і х₂₀, що є мінімумом цільової функції Z.

Обмеження (4.2) можуть бути лінійними й нелінійними, заданими у вигляді нерівностей або рівностей. Як було показано при розгляді задач лінійного програмування, лінійні обмеження являють собою прямі лінії. Очевидно, що нелінійні обмеження будуть являти собою криві лінії. При обмеженнях-рівностях допустимі значення змінних належать прямій (кривій) лінії, при обмеженнях-нерівностях допустимі значення змінних належать півпростору, розташованому з одної сторони від прямої (кривої) лінії.

На рис. 4.2 показаний випадок, коли два обмеження 1 і 2 є лінійними нерівностями, а одне обмеження 3 ‑ нелінійною нерівністю. Штрихування в кожного обмеження спрямовані в сторону допустимих значень змінних.

Рис.4.2. Ілюстрація області  допустимих значень змінних і відносного мінімуму функції Z

 

Як і у випадку лінійної задачі, система обмежень (4.2) утворить у просторі змінних х₁ і х₂ область  допустимих значень змінних. У загальному випадку ця область представляє собою замкнутий багатогранник (багатогранник abc на рис. 4.2) з прямолінійними та криволінійними гранями.

При розгляді лінійної задачі було показано, що оптимальний розв’язок завжди лежить в одній з вершин багатогранника . Для нелінійної оптимізаційної задачі ця умова може не виконуватися. Оптимальний розв’язок може лежати на одній з граней області  або всередині цієї області.

Для випадку, наведеного на рис. 4.2, оптимальному розв’язку відповідає точка з координатами х₁₀' і x₂₀', що лежить на грані ас області . Ця точка являє собою відносний мінімум функції Z, тобто мінімум функції Z при наявності обмежень.