Лабораторна робота № 1

Тема: Визначення показників надійності об’єктів в цілому.

Мета роботи: знати кількісні характеристики надійності, вміти визначати показники надійності об’єктів в цілому.

 

1.1 Загальні відомості

За показники безвідмовності для такого класу ТО використовують: ймовірність безвідмовної роботи, частоту відмов, інтенсивність відмов, середнє напрацювання до відмови.

Ймовірність безвідмовної роботи – ймовірність того, що в заданому інтервалі часу  в ТО, або в його елементі не виникне відмова. Цей показник зв’язаний з функцією розподілу часу безвідмовної роботи наступним співвідношенням:

,             

де  – ймовірність безвідмовної роботи;  – функція розподілу часу безвідмовної роботи – характеризується ймовірністю появи відмови на протязі часу .

Частота відмов – це щільність розподілу часу безвідмовної роботи, або похідна від ймовірності безвідмовної роботи. Тому

.               

Між частотою відмов, ймовірністю безвідмовної роботи і ймовірністю появи відмови існують наступні залежності

,     .         

Інтенсивність відмов є умовною щільністю розподілу часу безвідмовної роботи для моменту часу  при умові, що до моменту часу  відмови ТО не було. Таким чином,

.                

Так як , то, очевидно, завжди виконується співвідношення .

Інтегруючи вираз, маємо:

,                 або       .

Якщо , тоді    

,   .        

Середнє напрацювання на відмову (середній час безвідмовної роботи) є математичним очікуванням напрацювання до першої відмови. Таким чином,

.              

.        

 


Таблиця 1.1 – Вирази для оцінки ймовірності безвідмовної роботи

 

Закон  розподілу відмов ТО

Вираз для ймовірності безвідмовної роботи

Область застосування

Показниковий (експоненціальний)

  - інтенсив-ність відмов

Раптові відмови в результаті помилок при проектуванні, виготовленні і експлуатації. Наприклад, поломка деталей циліндро-поршневої групи двигуна (кільця, робочі втулки, кришки та ін.) внаслідок тріщин, раковин і інших дефектів матеріалу; виплавка підшипників механізмів при їх запуску в результаті порушення інструкцій і т.п.

Усічено-нормаль-ний

, – параметри розподілу

Деякі раптові відмови, наприклад, в результаті корозії елементів, трубопроводів та арматури енергетичних установок, корозійно- ерозійних руйнувань робочих коліс ЗЕУ, глибинно-насосних штангових установок тощо

Логариф-мічно-нормаль-ний

, – параметри розподілу

Поступові відмови в результаті порушення міцності і пониження втомної довговічності під впливом знакозмінних навантажень і вібрацій Наприклад, відмови колони НКТ та НКШ, різьбові з’єднання бурильних труб тощо

Гамма (при цілому К)

 

Відмови внаслідок зносу при достатньо однорідному виготовленні елементів і тривалому інтервалі їх припрацювання. Наприклад, відмови підшипників двигунів і механізмів; відмови резервованих систем при ввімкненні резервних елементів за схемою заміщення (систем, які мають резервні фільтри, теплообмінні апарати, компресори тощо).

Вербу-ла-Гнеден-ко

– парамет-ри розподілу

Відмови систем, які складаються із елементів, що з’єднані, з точки зору надійності, послідовно. Наприклад, відмови систем, які обслуговують газоперекачувальні агрегати (ГПА), компресори: змазки, охолодження, стисненого повітря та інш.

Релея

Відмови елементів в результаті старіння матеріалу. Наприклад, відмови протектора ЗЕУ, пристроїв віброзахисту бурильної колони, викликані порушенням щільності в зв’язку із старінням резинових елементів.

 

1.2  Програма роботи

– Ознайомлення з необхідними теоретичними  відомостями;

– Здійснення розрахунку показників надійності і аналіз результатів;

– Складання звіту.

 

1.3 Вихідні дані

В завдання входять дві задачі, вибір номерів задач проводять згідно таблиці 1.2.

 

Таблиця 1.2 – Варінти завдань

варіанту

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

№ за-дач

1,

11,

21

2,

12,

22

3,

13, 23

4,

14,

24

5,

15,

25

6,

16,

26

7,

17,

27

8,

18,

28

9,

19,

29

10,

20,

30

31,

32,

33

34,

36,

37

35, 38, 39

 

Задача 1. Визначити, який обєкт має більшу безвідмовність роботи в період 1000-1100 год та середнє напрацювання до відмови,  якщо задано щільності напрацювання до відмови:

a1(t)= 2×10-3exp(–2×10-3t)

a2(t)=0.6×10-3exp(–3×10-3t)+ 0.8×10-3exp(–10-3t)

Задача 2. Для об’єкту, напрацювання до відмови якого описується законом Вейбулла-Гнеденко, відомо, що  параметр k0.4. Знайти протягом якого напрацювання ймовірність безвідмовної роботи буде не нижча ніж 0.98, якщо інтенсивність відмов в момент часу 200 год рівна 0.005 1/год.

Задача 3. Визначити, який об’єкт має більшу безвідмовність роботи в період 200-500 год та середнє напрацювання до відмови, якщо

a1(t)=0.0017t0.7exp(–0.001t1.7)

.

Задача 4. Частоту відмов пристрою можна апроксимувати формулою

a(t)=6b×exp(–2bt)(1–exp(–bt)),   b=10-3

Визначити середнє напрацювання до відмови та інтенсивність відмов в початковий момент часу.

Задача 5. Визначити, який об’єкт має більшу безвідмовність роботи в період 1000-1200 год, якщо

a1(t)=lexp(–lt),    l=10-3, та

, =1000 год, T0=1500 год.

Задача 6. Інтенсивність відмов об’єкту дорівнює l(t)=bt, визначити ймовірність безвідмовної роботи в інтервалі часу 50-100 год та протягом якого напрацювання (у відсотках від середнього напрацювання до відмови) ймовірність безвідмовної роботи буде не нижче ніж 0.9, якщо b=10-4.

Примітка

Задача 7. Об’єкт має нормальний розподіл напрацювання до відмови з параметрами =500 год, T0=600 год. Визначити інтенсивність відмов в момент часу 100 год та середнє напрацювання до відмови.

Задача 8. Визначити, який об’єкт має більшу безвідмовність роботи в період 500-700 год та середнє напрацювання на відмову, якщо

a1(t)=0.002exp(–0.002t),   

a2(t)=0.0017t0.7exp(–0.001t1.7)

Задача 9. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами об’єкту незалежні та однаково розподілені. Щільність розподілу напрацювання між відмовами a(t)=b2t×exp(–bt). Знайти вираз, що характеризує залежність параметру потоку відмов від напрацювання.

Задача 10. Два вироби з нормальними розподілами напрацювання до відмови мають параметри =500 год, T01=8000 год; =3000 год, T02=10000 год. Порівняти надійність виробів по таких показниках, як ймовірність безвідмовної роботи протягом напрацювання (0, 6000) год та середнє напрацювання на відмову.

Задача 11. Визначити встановлене значення інтенсивності відмов та середнє напрацювання до відмови об’єкту, якщо щільність розподілу напрацювання до відмови:

a(t)=6×10-4exp(–3×10-3t)+ 8×10-4exp(–10-3t)

Задача 12. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами об’єкту незалежні і мають щільність розподілу

, l1=10–4, l2=10–3 1/год

Знайти при якому значенні напрацювання,  параметр потоку відмов буде відрізнятися від встановленого значення не більше ніж на 10%.

Задача 13. Напрацювання до відмови технічного об’єкта розподілене за усічено-нормальним законом розподілу з параметрами а=8000 год =1500 год. Знайти імовірність безвідмовної роботи об’єкту на протязі вказаного інтервалу напрацювання (3000,4000) год.

Задача 14. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами відновлюваного об’єкта незалежні і мають щільність розподілу:

, при чому С1 =0,3; С2=0,7; =10-3  1/год; =2*10-3 1/год. Обчислити залежність параметра потоку відмов від напрацювання.

Задача 15. Порівняти значення середнього напрацювання до відмови двох не відновлюваних об’єктів, які мають функції надійності:

Задача 16. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами об’єкту незалежні та однаково розподілені. Щільність розподілу напрацювання між відмовами a(t)=b2t×exp(–bt). Знайти встановлене значення параметру потоку відмов.

Задача 17. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами відновлюваного об’єкта незалежні і мають щільність розподілу:

, при чому С1 =0,3; С2=0,7; =10-3  1/год; =2*10-3 1/год. При якому значенні напрацювання (в долях напрацювання на відмову) параметр потоку відмов буде відрізнятись від установленого значення не більше ніж на 10 %.

Задача 18. Визначити, який обєкт має більшу безвідмовність роботи в період 1000-1100 год та середнє напрацювання до відмови,  якщо задано щільності напрацювання до відмови:

a1(t)= 2×10-3exp(–2×10-3t)

a2(t)=0.6×10-3exp(–3×10-3t)+ 0.8×10-3exp(–10-3t)

Задача 19. Для об’єкту, напрацювання до відмови якого описується законом Вейбулла-Гнеденко, відомо, що  параметр k0.4. Знайти протягом якого напрацювання ймовірність безвідмовної роботи буде не нижча ніж 0.98, якщо інтенсивність відмов в момент часу 200 год рівна 0.005 1/год.

Задача 20. Визначити, який об’єкт має більшу безвідмовність роботи в період 200-500 год та середнє напрацювання до відмови, якщо

a1(t)=0.0017t0.7exp(–0.001t1.7)

.

Задача 21. Частоту відмов пристрою можна апроксимувати формулою

a(t)=6b×exp(–2bt)(1–exp(–bt)),   b=10-3

Визначити середнє напрацювання до відмови та інтенсивність відмов в початковий момент часу.

Задача 22. Визначити, який об’єкт має більшу безвідмовність роботи в період 1000-1200 год, якщо

a1(t)=lexp(–lt),    l=10-3, та

, =1000 год, T0=1500 год.

Задача 23. Інтенсивність відмов об’єкту дорівнює l(t)=bt, визначити ймовірність безвідмовної роботи в інтервалі часу 30-100 год та протягом якого напрацювання (у відсотках від середнього напрацювання до відмови) ймовірність безвідмовної роботи буде не нижче ніж 0.9, якщо b=10-4.

Примітка

Задача 24. Об’єкт має нормальний розподіл напрацювання до відмови з параметрами =450 год, T0=600 год. Визначити інтенсивність відмов в момент часу 120 год та середнє напрацювання до відмови.

Задача 25. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами об’єкту незалежні та однаково розподілені. Щільність розподілу напрацювання між відмовами a(t)=b2t×exp(–bt). Знайти вираз, що характеризує залежність параметру потоку відмов від напрацювання.

Задача 26. Два вироби з нормальними розподілами напрацювання до відмови мають параметри =500 год, T01=8000 год; =3000 год, T02=10000 год. Порівняти надійність виробів по таких показниках, як ймовірність безвідмовної роботи протягом напрацювання (0, 6000) год та середнє напрацювання на відмову.

Задача 27. Визначити встановлене значення інтенсивності відмов та середнє напрацювання до відмови об’єкту, якщо щільність розподілу напрацювання до відмови:

a(t)=6×10-4exp(–3×10-3t)+ 8×10-4exp(–10-3t)

Задача 28. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами об’єкту незалежні і мають щільність розподілу

, l1=10–4, l2=10–3 1/год

Знайти при якому значенні напрацювання,  параметр потоку відмов буде відрізнятися від встановленого значення не більше ніж на 10%.

Задача 29. Напрацювання до відмови технічного об’єкта розподілене за усічено-нормальним законом розподілу з параметрами а=8000 год =1500 год. Знайти імовірність безвідмовної роботи об’єкту на протязі вказаного інтервалу напрацювання (3000,4000) год.

Задача 30. Випадкові величини напрацювання між послідовними відмовами відновлюваного об’єкта незалежні і мають щільність розподілу:

, при чому С1 =0,3; С2=0,7; =10-3  1/год; =2*10-3 1/год. Обчислити залежність параметра потоку відмов від напрацювання.

Задача 31. Період безвідмовної роботи виробу підкоряється закону Вейбула-Гнеденко з параметрами  і  1/год., а час його роботи  год. Визнаити кількісні характеристики надійності виробу.

Задача 32. Період роботи елемента до відмови підкоряється нормальному закону з параметрами  год.,  год. Обчислити кількісні характеристики надійності для год.

Задача 33. В результаті аналізу даних про відмови апаратури частота відмов одержана у вигляді . Визначити кількісні характеристики надійності.

Задача 34. Ймовірність безвідмовної роботи автоматичної лінії виготовлення деталей на протязі 120 год рівна 0,9. Вважається, що справедливим є експоненціальний закон розподілу. Необхідно розрахувати інтенсивність відмов і частоту відмов для моменту часу год., а також середнє напрацювання до відмови.

Задача 35. Середній час безвідмовної роботи автоматичної системи управління становить 640 год. Вважається, що справедливим є експоненціальний закон розподілу. Необхідно визначити ймовірність безвідмовної роботи на протязі 120 год., частоту відмов для моменту  год. і інтенсивність відмов.

Задача 36. Час справної роботи об’єкта підкоряється закону Вейбула-Гнеденко з параметрами  та  1/год. Необхідно обчислити кількісні характеристики надійності для год. і середнє напрацювання до відмови.

Задача 37. В результаті аналізу даних про відмови виробу встановлено, що частота відмов має вигляд . Необхідно знайти кількісні характеристики надійності.

Задача 38. В результаті аналізу даних про відмови виробу встановлено, що ймовірність безвідмовної роботи описується формулою . Знайти кількісні характеристики надійності.

Задача 39. Визначити ймовірність безвідмовної роботи і інтенсивність відмов приладу при год., якщо при дослідженнях одержано значення середнього часу безвідмовної роботи 1500 год. і середньоквадратичне відхилення год.

1.4 Зміст звіту

У звіті повинні бути представлені:

-     текст задач;

-     вихідні дані для розрахунку;

-     формули для розрахунку з поясненнями;

-     результати розрахунків;

-     графічні залежності показників надійності від часу

-     протокол діалогової взаємодії з ЕОМ;

-     висновки про роботу.

 

1.5 Контрольні питання

1.   Що таке ймовірність безвідмовної роботи?

2.   Що таке частота відмов?

3.   Що таке інтенсивність відмов?

4.   Що таке середнє напрацювання на відмову?

5.   Які закони розподілів Вам відомі?

6.   Які показники надійності Ви знаєте?

 

Гамма-функція

х

Г(х)

х

Г(х)

х

Г(х)

х

Г(х)

1,00

1,00000

1,25

0,90640

1,50

0,88623

1,75

0,91906

01

0,99433

26

0,90440

51

0,88659

76

0,92137

02

0,98884

27

0,90250

52

0,88704

77

0,92376

03

0,98355

28

0,90072

53

0,88757

78

0,92623

04

0,97844

29

0,89904

54

0,88818

79

0,92877

1,05

0,97350

1,30

0,89747

1,55

0,88887

1,80

0,93138

06

0.96874

31

0,89600

56

0,88964

81

0,93408

07

0,96415

32

0,89464

57

0,89049

82

0,93685

08

0,95973

33

0,89338

58

0,89142

83

0,93969

09

0,95546

34

0,89222

59

0,89243

84

0,94261

1,10

0.95135

1,35

0,89115

1,60

0,89352

1,85

0,94561

11

0,94740

36

0,89018

61

0,89468

86

0,94869

12

0,94359

37

0,88931

62

0,89592

87

0,95184

13

0,93993

38

0,88854

63

0,89724

88

0,95507

14

0,93642

39

0,88785

64

0,89864

89

0,95838

1,15

0,93304

1,40

0,88726

1,65

0,90012

1,90

0,96177

16

0,92980

41

0,88676

66

0,90167

91

0,96523

17

0,92670

42

0,88636

67

0,90330

92

0,96877

18

0,92373

43

0,88604

68

0,90500

93

0,97240

19

0,92089

44

0,88581

69

0,90678

94

0,97610

1,20

0,91817

1,45

0,88566

1,70

0,90864

1,95

0,97988

21

0,91558

46

0,88560

71

0,91057

96

0,98374

22

0.91311

47

0,88563

72

0,91258

97

0,98768

23

0,91075

48

0,88575

73

0,91467

98

0,99171

24

0,90852

49

0,88595

74

0,91683

99

0,99581

1,25

0,90640

1,50

0,88623

1,75

0,91906

2,00

1,00000

 

Значення гамма-функції для х < 1 (х ¹ 0, –1, –2, ...) знаходиться, як , а для  х > 2, як Г(х) = (х – 1) Г(х – 1).

Функція  розподілу  нормованого та  центрованого  нормального розподілу.

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,0 000

040

080

120

160

199

239

279

319

359

0,1

398

438

478

517

557

596

636

675

714

753

0,2

793

832

871

910

948

987

0,1 026

064

103

141

0,3

0,1 179

217

255

293

331

368

406

443

480

517

0,4

554

591

628

664

700

736

772

808

844

879

0,5

915

950

985

0,2 019

054

088

123

157

190

224

0,6

0,2 257

291

324

357

389

422

454

486

517

549

0,7

580

611

642

673

708

734

764

794

823

852

0,8

881

910

939

967

995

0,3 023

051

078

106

133

0,9

0,3 159

186

212

238

264

289

315

340

365

389

1,0

413

437

461

485

508

531

554

577

599

621

1,1

643

655

686

708

729

749

770

790

810

830

1,2

849

869

888

907

925

944

962

980

997

0,4 015

1,3

0,4 032

049

066

082

099

115

131

147

162

177

1,4

192

207

222

236

251

265

279

292

306

319

1,5

332

345

357

370

382

394

406

418

429

441

1,6

452

. 463

474

484

495

505

515

525

535

545

1,7

554

564

573

582

591

599

608

616

625

633

1,8

641

649

656

664

671

678

686

693

699

706

1,9

713

719

726

732

738

744

750

756

761

767

2,0

772

778

783

788

793

798

803

808

812

817

2,1

821

826

830

834

838

842

846

850

854

857

2,2*)

860966

86444

867906

871263

874545

877755

880894

883962

886962

889893

2,3

892759

895559

898296

900969

903581

906133

908625

911060

913437

915758

2.4

918025

920237

922397

924506

926 564

928572

930531

932443

934309

936128

2,5

937903

939 34

941323

942969

944574

946139

947664

949151

950600

952012

2,6

953388

954729

956035

957308

958547

959754

960930

962074

963189

964274

2,7

965330

966358

967359

968333

969280

970202

971099

971972

972821

973646

2,8

974449

975229

975988

976726

977443

978140

978818

979476

980116

980738

2,9

981342

981929

982498

983052

983589

984111

984618

985110

985588

986051

3.0

986501

986938

987361

987772

988171

988558

988933

989297

989650

989992

3,1

990324

990646

990957

991260

991553

991836

992112

992378

992636

992886

3.2

993129

993363

993590

993810

994024

994230

994429

994523

994810

994991

3,3

995166

995335

995499

995658

995811

995959

996103

996242

996376

996505

3,4

996631

996752

996869

996982

997091

997197

997299

997398

997493

997585

3,5

997674

997759

997842

997922

997999

998074

998146

998215

998282

998347

3,6

998409

998469

998527

998583

998637

998689

998739

998787

998834

998879

3,7

998922

998964

999004

999043

999080

999116

999150

999184

999216

999247

3,8

999276

999305

999333

999359

999385

999409

999433

999456

999478

999499

3,9

999519

999539

999557

999575

999593

999609

999625

999641

999655

999670

4,0

999683

999696

999709

999721

999733

999744

999755

999765

999775

999784

4,1

999793

999802

999811

999819

999826

999834

999841

999848

999854

999861

4,2

999867

999872

999878

999883

999888

999893

999898

999902

999907

999911

4,3

999915

999918

999922

999925

999929

999932

999935

999938

999941

999943

4,4

999946

999948

999951

999953

999955

999957

999 959

999961

999963

999964

4,5

999966

999968

999969

999971

999972

999973

999974

999976

999977

999978

5,0

999997

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Починаючи з цього місця, значення Ф0(*) наведено із сімома знаками після коми.

 

Перетворення Лапласа

Зображення

Оригінал

1

exp(–at)

t

texp(–at)

(1+(da)t)exp(–at)