3.3. Розрахунок передач гвинт – гайка

 

Кінематичний розрахунок. У передачах (див. рис. 1, а, б) обертання гвинта (гайки) з кутовою швидкістю ω забезпечує поступальний рух гайки (гвинта) зі швидкістю v. Взаємозв’’язок між цими кінематичними параметрами можна встановити на основі рівностей відношень кута повороту гвинта φ до осьового переміщення гайки x за один повний оберт;

  або  ,                         (1)

де  – хід гвинтової лінії різьби; z – число заходів різьби. Продиференціювавши ліву та праву частини рівності (1) по часу, дістанемо:

   або   .          (2)

Для передачі за схемою на рис. 1, в швидкість переміщення гайки визначають за формулою:

,                             (3)

де   і  – кроки і числа заходів різьб на двох ділянках гвинта.

Якщо добутки  і  близькі за значенням, то можна дістати надзвичайно малі швидкості переміщення гайки.

Співвідношення між параметрами навантаження передачі та ККД.

Для створювання осьової сили F_a на гайці (або на гвинті) у передачах за схемами на рис. 1, а, б до гвинта (або гайки) треба прикласти обертовий момент Т, який дорівнює сумі моменту сил тертя у різьбі Т_s і моменту сил тертя в опорах гвинта (або гайки) Т_s0:   

.                                                    (4)

Момент сил тертя T_s0 залежить від конструкції опор гвинта (або гайки). Щоб знайти момент сил тертя у різьбі Т_s, треба розглянути схему сил, що діють на виток гвинта (рис. 4,а). Нормальна до робочої поверхні витка сила F_n створює у контакті витків гвинта та гайки силу тертя F_s = F_nƒ. Складова F_n cosδ нормальної сили та сила тертя F_s у сумі дають силу F, що лежить у дотичній площині до середнього циліндра гвинта.

Розкладемо силу F на дві взаємно перпендикулярні складові· ко­лову F_t на гвинті та осьову F_а сили:

.

Із записаного співвідношення визначимо момент сил тертя у різьбі:

,                                  (5)

де ψ – кут підйому витка різьби по його середньому діаметру; φ′ – зведений кут тертя у різьбі, який визначається за співвідношенням:

.                         (6)

Рис. 4. До визначення моменту сил тертя у передачі гвинт – гайка

 

Кут δ при малих кутах підйому витків можна брати (див. рис. 2):

–    для трикутних та трапецеїдальних різьб δ ≈ 0,5α;

–    для упорних різьб δ ≈ 3⁰, а  для прямокутних різьб  δ = 0.

Формула (5) справедлива для випадку, коли осьова сила F_a на гвинті протилежна напряму швидкості v його поступального руху. Якщо напрями F_a та ν збігаються (див рис. 4, б), то вираз для визначення T_s має такий вигляд (для випадку φ’ > ψ):

.                              (7)

Із формули (7) видно, що при великих кутах підйому витків різьби
(ψ > φ’) T′_s від’ємний, тобто передача гвинт – гайка стає несамогальмівною. У такому разі при дії осьового навантаження на гайку буде забезпечуватись обертання гвинта.

ККД передачі гвинт – гайка можна дістати за співвідношенням:

.                      (8)

Формулу (8) використовують для визначення ККД передачі при дії осьового навантаження F_a протилежно швидкості ν поступального руху.

Для різних параметрів та матеріалів гвинта і гайки ККД передачі може коливатись у межах 0,6–0,8. При використанні самогальмівної передачі гвинт – гайка (ψ < φ’) ККД буде менший від 0,5.

Розрахунок передачі на стійкість проти спрацювання. Передачі гвинт – гайка у більшості випадків виходять із ладу через спрацювання різьби. Стійкість проти спрацювання гвинтової пари забезпечується обмеженням тиску у контакті витків різьби за умовою:  

.                                                (9)

Розрахунковий тиск у припрацьованій гвинтовій парі (навантаження розподілене по витках приблизно рівномірно) визначають за формулою:

,                         (10)

де H₁ – робоча висота профілю різьби (див. рис. 2); z_В = Н/Р – число витків різьби у гайці висотою Н.

Допустимий тиск [р] назначають, виходячи з умов роботи та матеріалів гвинта і гайки. Для пари загартована сталь – бронза беруть
[р] = (..15) МПа, а при малих швидкостях ковзання у різних натискних пристроях [р] = (15...18)МПа. Для матеріалів незагартована сталь – бронза або чавун [р] = 8 МПа і [р] – 5 МПа відповідно. У передачах гвинт – гайка, які забезпечують точні переміщення, [р]=(4...5) МПа.

Робоча висота профілю різьби, що віднесена до кроку (λ = Н₁/Р), є постійною для певного типу різьби (див. рис. 2). Висота гайки Η обмежується з метою зменшення нерівномірності розподілу наванта­ження по витках. Тому відношенням ε = H/d₂ = 1,2...2,0 здебільшого задаються. Отже, беручи до уваги λ і ε і враховуючи вираз (10), умову обмеження тиску запишемо у вигляді:

.

Із записаного співвідношення можна дістати формулу для проектного розрахунку передачі гвинт – гайка, в якому визначають середній діаметр різьби                                  

.                                   (11)

Визначений діаметр різьби d₂ треба узгодити з параметрами стандартної різьби. При цьому висота гайки Η = ε d₂.

Розрахунок гайки та гвинта на міцність. Міцність витків гайки перевіряють за напруженнями зрізу:

.                     (12)

Тут d – зовнішній (номінальний) діаметр різьби; k – коефіцієнт повноти різьби (k = 0,87 – для трикутної різьби; k = 0,65 – для трапецеїдальної; k = 0,5 – для прямокутної); Н – висота гайки.

Допустиме напруження:    [т]_зр = (25...З0) МПа – для гайки із бронзи і [т]_зр = (45...50) МПа – для чавунних гайок.

Руйнування гвинтів зустрічається рідко і тому розрахунки гвин­тів на міцність виконують тільки при дії на них значних осьових на­вантажень. Гвинти у більшості випадків підлягають деформаціям розтягу або стиску від дії осьової сили F_a та деформаціям кручення за рахунок дії моменту Τ від сил тертя в різьбі та в опорах. Тому міцність гвинтів перевіряють за умовою

.                                    (13)

Тут – нормальне напруження розтягу (стиску), а  – дотичне напруження кручення. Діаметр d₀ гвинта у небезпечному перерізі здебільшого беруть рівним внутрішньому діаметру d₁ різьби гвинта. Допустиме напруження для сталевих гвинтів [σ] = (0,2...0,3)σ_т. Гранична довжина гвинтів, навантажених стискаючою силою F_a, визначається за умовою стійкості (стійкості стержня за Ейлером).

Приклад розрахунку передачі гвинт – гайка

Задача. На рис. 5 зображена кінематична схема гвинтового підйомника, до складу якого входять приводний електродвигун із циліндричною шестірнею на його валу, пов’язане з шестірнею циліндричне колесо, у маточині якого розміщена гайка передачі гвинт – гайка.

Рис. 5. Кінематична схема підйомника

Вертикальний гвинт верхнім кінцем утворює поступальну пару в корпусі, а до нижнього кінця закріплюється вантаж. При обертанні циліндричного колеса разом із гайкою гвинт здійснює поступальний рух, піднімаючи чи опускаючи вантаж.

Для підйомника треба підібрати електродвигун і розрахувати передачу гвинт – гайка за такими даними: маса вантажу (вантажність) m = 800 кг, швидкість піднімання v = 0,05 м/с.

Розв’язання. 1. Визначення потрібних параметрів електродвигуна. Осьова сила, що навантажує гвинт:

,

ККД приводного механізму підйомника:

.

Тут орієнтовно вибрано: η₁ = 0,45 – ККД передачі гвинт – гайка;
η₂ = 0,9 – ККД циліндричної зубчастої передачі та опор циліндричного колеса і гвинта.

Потрібна потужність електродвигуна:

.

Щоб дістати самогальмівну передачу гвинт – гайка, слід орієнтуватись на малий крок різьби Ρ = 3 мм (див. табл. 1) і число заходів z = 1. Тоді з формули (2) потрібна кутова швидкість гайки:

.

Для привода підйомника можна застосувати електродвигун
 4А71В2УЗ з номінальною потужністю Р_дв = 1,1 кВт і частотою обертання його вала: n_ДВ =2880  або кутовою швидкістю:

рад/с.

Тоді передаточне число циліндричної зубчастої передачі:

.

2. Проектний розрахунок передачі гвинт – гайка. Для виготовлення передачі виберемо такі матеріали: гвинт – із сталі 45, нормалізованої, для якої σ_Β = 598 МПа, a σ_т = 363 МПа; гайка із сірого чавуну СЧ. Допустимий тиск у контакті витків сталевого нормалізованого гвинта і чавунної гайки
[р] = 5 МПа.

У зв’язку з однобічним осьовим навантаженням гвинта вибираємо для передачі гвинт – гайка упорну різьбу.

За формулою (11) при ε = H/d₂ = 1,5 і λ = Н₁/Р = 0,75 (для упорної різьби) середній діаметр різьби гвинта:

.

Приймаємо упорну різьбу з параметрами: крок різьби P = 3 мм; номінальний діаметр d= 26 мм; внутрішній діаметр d₁ = 20,795 мм; середній діаметр d₂ = 23,75 мм.

Висота гайки:

.

Беремо H = 36 мм.

Число витків у гайці:

.

Кут підйому витків різьби за її середнім діаметром:

tg ψ = Pz/(πd₂) = 3 · 1/(3,14 · 23,75) = 0,040207;     ψ = 2,30248°.

Зведений кут тертя у різьбі при коефіцієнті тертя f = 0,05 для змащених дета­лей та при δ = 3° за формулою:

tg φ’ = f/cos δ = 0,05/cos 3° = 0,050069;    φ’ = 2,86633°.

Умова самогальмування різьбової пари виконується, оскільки φ′ > ψ. Визначаємо фактичний коефіцієнт корисної дії передачі гвинт – гайка при підніманні вантажу:

.

Фактичний ККД передачі гвинт – гайка з вибраними розмірами практично дорівнює попередньо взятому значенню.

3. Розрахунок передачі на стійкість проти спрацювання витків. Розрахунковий тиск у контакті витків передачі з вибраними розмірами при робочій висоті витків

мм,

.

Стійкість витків проти спрацювання забезпечується, оскільки
 p = 3,9 МПа < [p] = 5 МПа.

4. Розрахунок гайки на міцність за напруженнями зрізу у витках. За формулою:

МПа.

Тут коефіцієнт повноти упорної різьби k = 0,5.

Допустиме напруження на зріз для витків чавунних гайок
[τ]_3Р = 45 МПа. Отже, міцність витків на зріз забезпечується.

5 Розрахунок гвинта на міцність. Нижня частина гвинта знаходиться тільки під дією розтягу. Тому напруження розтягу у перерізі гвинта з внутрішнім діаметром різьби d₁:

Запас міцності гвинта за границею текучості:

що забезпечує його достатню міцність.

Верхня частина гвинта (над гайкою) знаходиться тільки під дією кручення від моменту T_s сил тертя у різьбі (цей момент зрівноважується поступальною парою у корпусі):

;

Тут також гвинт має достатньо високий запас міцності за границею текучості при крученні:

.