Тема 7.
Пряма на площині.
Різні
види
прямої.
Взаємне
розташування
прямих.
Приклад 1. Скласти рівняння прямої що прохлдить
через точку і відтинає на осі оординат відрізок
.
Розв’язання.
Запишемо рівняння зазначеної прямої у вигляді , звідки знайдемо
. Шукане рівняння прямої запишемо
у вигляді
або
.
Приклад 20. Визначити площу трикутника утаореного
прямою та осями
координат.
Розв’язаання. Шукана площина , де
– відкізки, що відтинаються прямою на осях координат.
Переписавши дане рівняння у вигляді
, знаходимо, що
,
.
Звідси (кв. од.)
Приклад 2. Дано вершини трикутника ,
,
. Скласти рівняння бісектриси його внутрішнього кута при
вершині
.
Розв'язання.
Відомо, що бісектриса внутрішнього кута
трикутника ділить
протилежну сторону на частини, пропорційні довжинам прилеглих сторін. Тоді
і точка
перетину
бісектриси
з стороною
ділить відрізок
у відношенні
.
Знайдемо відстань між точками і
і точками
і
:
Знайдемо координати точки
:
.
і запишемо
рівняння бісектриси:
або
.
Приклад 3. Скласти
рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до прямої
.
Розв'язання. Перетворимо рівняння даної прямої в рівняння з кутовим коефіцієнтом . Оскільки шукана пряма
паралельна до даної прямої, отже
. Шукана пряма проходить через
точку
, значить її рівняння:
або
.
Приклад 4. Звести до нормального вигляду
рівняння прямих:
1) , 2)
.
Розв'язання. В першому рівнянні , отже, нормуючий множник
слід взяти з знаком плюс
.
Помноживши
всі члени рівняння на цей множник, одержимо рівняння прямої нормального
вигляду:
.
В другому рівнянні , отже нормуючий множник можна
взяти з довільним знаком, наприклад із знаком плюс:
.
Помноживши
всі члени даного рівняння на цей множник, одержимо рівняння нормального
вигляду:
Приклад 5. Знайти відстань між паралельними прямими та
.
Розв'язання. Візьмемо на першій прямій
довільну точку, наприклад точку і за формулою відстані від точки до прямої
знайдемо
.
Ця
відстань і є відстанню між даними паралельними прямими.
Приклад 6. Пряма
перегинає вісь в
деякій точці
і проходить через точки
і
. Знайти
координати точки
.
Розв'язання. Точки
лежать
на одній прямій, отже, повинна виконуватись умова
або
.
Звідси . Точка
шукана.
Приклад 7. Дано
координати вершин трикутника
;
;
.
Знайти: 1) довжину сторони
; 2)
рівняння сторін
і
і їх кутові коефіцієнти; 3) кут
в радіанах з точністю до двох знаків; 4)
рівняння висоти
і її довжину; 5) рівняння медіани
і координати точки
перетину цієї медіани з висотою
); 6)
координати точки
розміщеної симетрично точці
відносно прямої
; 7)
рівняння прямої, що проходить через т.
паралельно стороні
.
Розв'язання.
1)
Відстань між точками
та
визначається за формулою
(1)
В нашому випадку
2) Рівняння прямої, що проходить через точки та має вигляд:
(2).
Підставляючи в (2) координати точок і
, одержимо рівняння
;
;
Розв'яжемо останнє рівняння відносно , одержимо
звідси
.
Підставивши в (2) координати точок і
, одержимо рівняння прямої
:
;
;
або
, звідки
.
3) Відомо, що тангенс куга між двома прямими,
кутові коефіцієнти яких відповідно дорівнюють
і
обчислюється за
формулою:
;
, або
рад.
4) Рівняння прямої, що проходить через дану точку в
заданому напрямку має вигляд
, коефіцієнт
. Підставляючи в
(4)
координати
точки і знайдений
кутовий коефіцієнт висоти, одержимо
Щоб знайти довжину висоти, визначимо спочатку координати
точки
- точки перетину прямих
і
. Розв'яжемо систему
знайдемо ;
, тобто
. За формулою (1) знайдемо
довжину висоти
.
.
5) Щоб знайти рівняння медіани, визначимо спочатку координати
точки
, яка є серединою сторони
, використовуючи формули поділу відрізка на
дві рівні частини:
(5)
значить
.
Підставивши в (2) координати точок і
, знайдемо рівняння медіани
.
Щоб знайти координати точок
перетину висоти і медіани
розв’яжемо систему
6) Оскільки пряма , то шукана точка
, розміщена симетрично точці
відносно прямої
лежить на прямій
. Крім того, точка
є серединою відрізка
. Використовуючи формули (5),
знайдемо координати точки
:
;
.
7) Оскільки шуана площина
паралельна стороні , то її кутовий коефіцієнт
дорівнює кутовому коефіцієнту прямої
. Підставивши, в (4) координати
знайденої точки
і кутовий коефіцієнт
, одержимо