Тема 4. Вектори.
Лінійні
операції
над векторами.
Приклад1. Знайти
координати
вектора , якщо
,
,
.
Розв’язання.
.
Приклад 12. Дано вектори
в деякому
базисі.
Показати,
що
вектори
утворюють
базис і знайти
координати
вектора
в цьому
базисі.
Розв’язання. Розглянемо лінійну
комбінацію
векторів
:
, де
– коефіцієнти
цієї
комбінації.
Якщо
тільки
при
, то вектори
є лінійно
незалежними,
тобто
утворюють
базис. Знайдемо
координати
вектора
:
,
.
Тому
.
тоді
і тільки
тоді,
коли
(1)
Система має
тривіальний
розв’язок
, якщо її головний
детермінант
.
.
Цим доведено, що
утворюють
базис. Для розкладу
вектора
за цим
базисом
досить
в системі
(1) справа поставити
координати
вектора
, тобто розв’язати
систему рівнянь:
Розв’яжемо цю
систему методом Крамера:
,
,
.
Отже, .
Приклад
13. Дано точки та
. Знайти:
а) координати, довжину,
напрямні
косинуси
та орт вектора ;
б) координати точки , якщо
;
в) координати точки , якщо
.
Розв’язання.
а) ;
– довжина
вектора;
,
,
– напрямні
косинуси;
– орт вектора
.
б) Координати
точки :
;
;
.
Отже, .
в) Нехай , тоді
,
. З рівності векторів
випливає
рівність
відповідних
координат:
Отже, .