Лекція 13: Поверхні другого порядку.

 

 

Означення. Поверхнею другого порядку в ПДСК називають множину точок простору, координати яких задовольняють рівняння:

де коефіцієнти  одночасно не дорівнюють нулю.

 

§1.Сфера.

Означення. Сферою називають множину всіх точок простору, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром сфери. Відрізок, що з’єднує довільну точку сфери з центром, називається радіусом.

Якщо точка  – центр кола,  – радіус кола, то рівняння кола має вигляд:

.                     (13.1)

Якщо центр сфери співпадає з початком координат, то отримуємо канонічне рівняння сфери:

.                                             (13.2)

§2. Еліпсоїд.

Означення. Еліпсоїдом називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                             (13.3)

Величини  – півосі еліпсоїда. Якщо  еліпсоїд перетворюється в сферу.

У результаті перерізу еліпсоїда площинами паралельними до координатних площин отримуємо лінію, яка визначається рівнянням еліпса:

, ;

, ;

, .

§3. Гіперболоїди.

1) Означення. Однопорожнинним гіперболоїдом називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                    (13.4)

В перетині гіперболоїда площинами, паралельними площині , отримуємо еліпси, а площинами, паралельними іншим координатним площинам, – гіперболи.

2) Означення. Двопорожнинним гіперболоїдом називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                  (13.5)

Двопорожнинний гіперболоїд складається з двох опуклих нескінченних чаш. В перетині гіперболоїда площинами, паралельними площині , отримуємо еліпси, а площинами, паралельними іншим координатним площинам, – гіперболи.

 

§4. Параболоїди.

1) Означення. Еліптичним параболоїдом називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                          (13.6)

В перетині параболоїда площинами, паралельними площині , отримуємо еліпси, а площинами, паралельними іншим координатним площинам, – параболи.

2) Означення. Гіперболічним параболоїдом (сідлом) називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                          (13.7)

Лініями перетину паралельних перерізів є параболи або гіперболи.

§5. Конус.

Означення. Конусом називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                   (13.8)

 

§6. Циліндри.

Означення. Циліндричною поверхнею називають поверхню, утворену множиною твірних, паралельних заданій прямій , які перетинають дану напрямну лінію .

1) Прямим круговим циліндром називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                         (13.9)

Твірні циліндра паралельні осі , а в площині  напрямною є коло .

2) Еліптичним циліндром називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                          (13.10)

Твірні паралельні осі , а напрямною в площині  є еліпс .

3) Гіперболічним циліндром називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                          (13.11)

Твірні паралельні осі , а напрямною в площині  є гіпербола .

4) Параболічним циліндром називається множина точок простору, координати яких  в ПДСК задовольняють рівняння:

.                                             (13.12)

Твірні паралельні осі , а напрямною в площині  є парабола .

 

Питання для самоконтролю:

1. Що називають поверхнею другого порядку в ПДСК?

2. Яке канонічне рывняння сфери?

3. Що називають гіперболоїдами?

4. Які поверхні називають циліндричними?

5. Яке канонічне рівняння конуса?