Означення. Лінією другого порядку на площині називають множину
точок площини, прямокутні координати яких задовольняють
алгебраїчне рівняння другого порядку:
,
де коефіцієнти одночасно не
дорівнюють нулю.
Означення. Коло – це геометричне місце точок, рівновіддалених від
заданої точки , що є центром кола. Віддаль від довільної точки кола до
центра – радіус кола
:
. (12.1)
Канонічним рівнянням кола в ПДСК
є рівняння виду:
. (12.2)
Параметричне рівняння кола: .
Канонічним рівнянням еліпса в
ПДСК є рівняння виду:
,
. (12.3)
Якщо , то рівняння еліпса переходить у рівняння кола з
.
Еліпс можна задати параметричним
рівнянням:
Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, для яких сума
віддалей до двох фіксованих точок та
, що називають фокусами, є величина стала.
Якщо точка – біжуча точка еліпса,
тоді
.
,
– фокуси,
– фокальна віддаль.
Величина , тоді для еліпса
.
– це велика піввісь еліпса;
– це мала піввісь еліпса.
Точки ,
,
,
– вершини еліпса, тобто еліпс міститься в прямокутнику
,
і має осі симетрії –
осі координат
та
, точка
– центр симетрії
еліпса.
,
– фокальні радіуси.
– ексцентриситет еліпса. Для еліпса
, у випадку кола
,
,
.
– директриси еліпса.
Віддалі від точки еліпса до лівої та
правої директриси:
;
.
Тому для всіх точок еліпса
справедлива наступна властивість:
.
Зауваження: якщо , фокуси знаходяться на осі
.
Якщо центр симетрії еліпса
міститься в точці , то рівняння еліпса має вигляд:
.
Канонічним рівнянням гіперболи в
ПДСК є рівняння виду:
,
. (12.4)
Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, для яких модуль
різниці віддалей до двох фіксованих точок та
, що називають фокусами, є величина стала.
Якщо точка – біжуча точка гіперболи,
тоді
.
,
– фокуси,
– фокальна віддаль.
Величина , тоді для еліпса
.
– це дійсна піввісь гіперболи;
– це уявна піввісь гіперболи.
Точки ,
– вершини гіперболи; гіпербола розташована за межами смуги
і має осі симетрії –
осі координат
та
, точка
– центр симетрії
гіперболи.
Фокальні радіуси гіперболи для
двох віток:
– для правої;
– для лівої.
– ексцентриситет. Для гіперболи
.
– директриси гіперболи.
Гіпербола має асимптоти: . Асимптотою
функції називається пряма лінія, до якої наближається графік функції але її не
перетинає.
Для гіперболи справедливе
співвідношення:
.
Зауваження: рівняння задає гіперболу дійсна
піввісь якої
, уявна піввісь –
, фокуси знаходяться на осі
.
Канонічним рівнянням параболи в
ПДСК є рівняння виду:
. (12.5)
– параметр параболи.
Означення. Параболою називається геометричне місце точок, для яких віддаль до
точки (фокуса) дорівнює
віддалі до прямої (директриси).
Якщо точка – біжуча точка
параболи, тоді
.
Точка – вершина параболи, вісь
– вісь симетрії, число
– фокусна віддаль.
– фокус;
– директриса.
Ексцентриситет ,
– фокальний радіус.
Зауваження: рівняння ,
та
також задають
параболу.
Якщо вершина параболи співпадає з
точкою , то рівняння параболи буде мати вигляд:
, або
.
Питання для самоконтролю:
1. Що називають кривою другого
порядку?
2. Що називають колом?
3. Яке канонічне рівняння еліпса?
4. Що називають еліпсом?
5. Що називають гіпенболою?
6. Яке канонічне рівняння
гіперболи в ПДСК?
7. Що називають параболою?
8. При якому значенні ексцентриситету отримуємо
еліпс, гіперболу, параболу?