Лекція 7: Поняття базису. Система координат.

§1. Поняття базису.

Означення. Якщо , то вектор називається лінійною комбінацією векторів , де – деякі дійсні числа.

Означення. Вектори називаються лінійно незалежними, якщо лінійна комбінація тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю: .

Означення. Якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, то вектори будуть лінійно залежними.

Лінійно незалежні вектори можуть утворювати базис.

Означення. Базисом на прямій називається довільний ненульовий вектор , тоді довільний вектор, що лежить на цій прямій, можна однозначно розкласти за цим базисом:

. (7.1)

Звідси отримуємо умову колінеарності векторів:

Означення. Базисом на площині називається довільна впорядкована пара не колінеарних векторів , тоді будь-який вектор, що належить цій площині можна однозначно розкласти за цим базисом:

. (7.2)

Означення. Базисом в просторі називається довільна впорядкована трійка не компланарних векторів , тоді будь-який вектор, що належить простору можна однозначно розкласти за цим базисом:

. (7.3)

Коефіцієнти біля базисних векторів у формулах 7.1–7.3 є координати вектора відповідно на прямій – , на площині – та в просторі – .

Зауваження: рівні вектори мають однакові координати в одному і тому ж базисі.

§2. Прямокутна декартова система координат.

Трійка одиничних попарно взаємно перпендикулярних впорядкованих векторів утворює ортонормований базис у просторі. Ортонормований базис позначають: . Тоді , , , . Трійка векторів називається правою, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора видно проти годинникової стрілки, в іншому випадку трійка векторів називається лівою.

рис

Означення. Прямокутною декартовою системою координат називається ортонормований базис з правої трійки векторів, прив’язаний до точки простору .

Точка – початок координат. Вектор є напрямним вектором осі абсцис , вектор є напрямним вектором осі ординат , вектор є напрямним вектором осі аплікат .

Довільний вектор , який ще називають радіус-вектором, можна подати в вигляді , тобто . З іншого боку дані числа є проекціями вектора на осі координат, тому . Координати точки в цьому випадку співпадають з координатами радіус-вектора .

Нехай задано координати точок та . Знайдемо координати вектора .

, , тоді

отже, координати вектора :

. (7.4)

Довжина вектора є довжиною діагоналі прямокутного паралелепіпеда, сторони якого дорівнюють , , , тому

. (7.5)

Якщо вектор заданий двома точками та , то довжину вектора знаходимо, використовуючи формули (7.4)–(7.5):

. (7.6)

За формулою (7.6) знаходять віддаль між двома точками.

§3. Дії над векторами в координатній формі.

1. Нехай вектори задані координатами: , , тоді сумою цих векторів є вектор, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів та .

Якщо – дійсне число, то

2. Умова колінеарності векторів.

Вектори та колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні:

3. Рівність векторів:

, , .

§4. Поділ відрізка в заданому відношенні.

Нехай задано координати кінців відрізка та і точка ділить даний відрізок у відношенні , тобто . Потрібно знайти координати точки .

Введемо радіус-вектори, що відповідають цим точкам, тоді

; .

Оскільки , то і визначаємо радіус-вектор :

Рівні вектори мають відповідні рівні координати, тому

; ; . (7.7)

Зауваження: якщо точка є серединою відрізка , тобто , , то формули (7.7) набувають виду:

; ; – координати середини відрізка.

§5. Напрямні косинуси вектора.

Вектор утворює з додатнім напрямком осей координат відповідно кути (з віссю ), (з віссю ) та (з віссю ). Дані кути називаються напрямними кутами вектора, а відповідно їх косинуси – напрямними косинусами вектора: