Тема 5. Зрівноваження

У процесі руху ланок механізму в кінематичних парах виникають додаткові динамічні навантаження від сил інерції ланок, які через нерухомі стояки передаються на фундамент механізму. Динамічні навантаження є джерелом додаткових сил тертя в кінематичних парах, вібрацій в ланках і фундаменті, додаткових напружень в окремих ланках, причиною шуму тощо.

Проектуючи механізми, через вищезгадане, часто необхідно вирішувати задачу про раціональний підбір мас ланок механізму з метою погашення динамічних навантажень. Цю задачу називають задачею про зрівноваження мас механізму або задачею зрівноваження сил інерції ланок механізму.

Задачу зрівноваження сил інерції ланок можна розділити на дві самостійні задачі:

1. Задача про зрівноваження динамічних навантажень на фундамент;

2. Задача про зрівноваження динамічних навантажень у кінематичних парах.

Розглянемо питання про зрівноваження динамічних навантажень на стояк і фундамент механізму.

Відомо, що будь-яка система сил, прикладених до твердого тіла, приводиться до однієї сили, прикладеної в довільно вибраній точці, і до однієї пари сил, при цьому вектор цієї результуючої сили дорівнює головному вектору даної системи сил, а момент пари – головному моменту даної системи сил відносно вибраного центра приведення.

Умови зрівноваження динамічних сил рухомих ланок механізму мають вигляд:

(5.1)

де – головний вектор сил інерції і-тої ланки, яка має масу , – прискорення центра мас цієї ланки;

– головний момент інерції і-тої ланки відносно центра мас , яка рухається з кутовим прискоренням .

Якщо виконуються обидві умови, то маємо повне зрівноваження сил інерції. На практиці зазначенні умови виконуються лише частково, залежно від типу механізмів і поставленої задачі.

Обидві умови легко виконуються для механізмів зі сталими передаточними відношеннями (наприклад, зубчаті). Для інших механізмів (кулачкові), як правило, вдається забезпечити лише виконання першої умови, яку можна записати:

(5.2)

Умова (5.2) виконується тоді, коли прискорення центру мас механізму , оскільки маса ланок механізму ніколи не дорівнює нулю. Це можливо в 2-х випадках:

– загальний центр мас механізму нерухомий;

– загальний центр мас рухається рівномірно і прямолінійно.

Очевидно, що друга умова, як правило, не може бути виконана, оскільки центр мас ланки механізму рухається по замкненій кривій. Отже, для повного зрівноваження головного вектора сил інерції ланок механізму необхідно і достатньо так підібрати маси, щоб спільний центр мас усіх ланок механізму залишався нерухомими, тобто виконується умова

. (5.3)

Повне зрівноваження головного вектора сил інерції механізму називають статистичним зрівноваженням механізмів.

Дві рівності (5.3) можемо замінити одним векторним рівнянням

(5.4)

де –вектор, що визначає положення спільного центру мас ланок механізму.

Рис. 5.1

де – модулі векторів , визначаються за формулами:

(5.5)

де – відстань від точки А до центра мас 1-ї ланки;

– відстань від точки В до центра мас 2-ї ланки;

– відстань від точки С до центра мас 3-ї ланки;

– маси окремих ланок;

т –сумарна маса всіх ланок;

– довжини ланок.

Для виконання умови (5.4) необхідно, щоб , а це буде виконуватись, якщо модулі векторів підібрати таким чином, що векторний багатокутник, утворений ними, буде подібний чотирикутнику АВСD. При цьому модулі повинні задовольняти пропорціям:

(5.6)

Механізм буде зрівноваженим при будь-якому розташуванні точки на прямій як між точками і , так праворуч і ліворуч від них.

Підставивши в (5.6) значення за формулами (5.5), отримаємо:

(5.7)

З цих рівнянь випливає, що, вирішуючи задачу про підбір мас механізму, які б задовольняли умові його зрівноваженості, можемо отримати безліч розв’язків, через те, що в ці два рівняння входять шість змінних: , з яких чотири можна приймати довільно.

На практиці задачу про підбір мас ланок і положень їх центрів мас розв’язують у такій послідовності. Задаються положенням центра мас і масою однієї ланки. Тоді маси і відстані центрів мас інших ланок легко підбираються за допомогою рівнянь (5.7).

При різних вихідних даних можна отримати різні схеми зрівноваження і отримати положення точки – центра мас механізму – у будь-якому місці прямої або на її подовженні.

У кривошипно-повзунному механізмі (рис. 5.2) для того, щоб задовольнити умову (5.4) нерухомості центру мас механізму з кривошипом (довжина якого ) і шатуном () необхідно, щоб нерухомою була точка або . Для цього вона повинна співпадати з точкою А, єдиною нерухомою точкою механізму і повинна дотримуватись умова . Це має місце в тому випадку, якщо вектори і дорівнюють нулю:

Підставивши в ці рівняння значення і , які, як зазначено вище визначаються:

отримаємо

або

(5.8)

(5.9)

Рис. 5.2

Рис. 5.3

З (5.8) і (5.9) видно, що коли і від’ємні, центри ваги і повинні знаходитись не праворуч від точок А і В, а ліворуч. Якщо повзуна 3 задана (рис.5.3), то задавши в рівнянні (5.9), наприклад, відстань , знайдемо масу , яка є масою шатуна 2 з противагою Е. Отримане значення маси підставимо в рівняння (5.8).

Якщо тепер задати відстань а₁, то з цього рівняння визначиться маса т₁, яка є масою кривошипа з противагою D. Якщо задатися в рівняннях (5.8) і (5.9) бажаними масами т₁, т₂, і т₃, то визначаться потрібні відстані а₁ і а₂ центрів мас S₁ і S₂. Через те, що противага Е, з конструктивних міркувань, зазвичай, розташовується біля точки В і а₂ приймають маленьким, як бачимо з рівняння (5.9), маса противаги буде великою, що призведе до додаткових навантажень в шарнірах напрямної повзуна. Тому подібне повне зрівноваження результуючої сили інерції ланок кривошипно-повзуного механізмів, не зважаючи на всі його динамічні переваги, на практиці застосовується рідко.