Page 39

Атомна та ядерна фізика. Статистична фізика.       

Приклади розв’язування задач

 

Задача 1.  Електрон в атомі водню перейшов з четвертого енергетичного рівня на другий. Визначити енергію випущеного при цьому фотона.

Розв'язання

Для визначення енегрії фотона скористаємося серіальною формулою для воднево подібних систем         (1)              

де -  довжина хвилі фотона;  R – постійна Рідберга; Z = 1 – заряд ядра;  - номер орбіти, на яку перейшов електрон;

 - номер орбіти, з якої перейшов електрон. Енергія фотона виражається формулою         (2) .              

Так як величина є енергія іонізації  атома водню, то        (3) .                             

Здійснивши розрахунки за формулою (3), отримаємо      .

 

Задача 2. Знайти кутову швидкість  і період обертання Т електрона на першій борівській орбіті в атомі водню.

 

Розв'язання

      За першим постулатом Бора                     (1)  ,де - маса електрона,  - радіус орбіти,    - лінійна

швидкість електрона на цій орбіті, h – постійна Планка,  - квантове число, яке відповідає першій орбіті.

      Враховуючи, що , можемо записати                        (2) .  Радіус орбіти визначається за формулою

де е – заряд електрона, е0 – електрична постійна. Підставляючи формулу (3) в (2), отримуємо                  (4)

.                      

Підставляючи числові значення у формулу (4), отримуємо  

Період обертання електрона знайдемо зарівнянням          (5)

.                   

Здійснивши розрахунки за рівнянням (5), знайдемо         

 

Задача 3. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорюючи різницю потенціалів U. Знайти довжину

хвилі де Бройля для двох випадків:     1) ; 2) .

 

Розв'язання

      Довжина хвилі де Бройля для частинки залежить від її імпульсу р і визначається за формулою:                        (1)

                               

де h – постійна Планка. Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія ЕК . Зв’язок імпульсу з кінетичною енергією неоднаковий для нерелятивістського випадку (коли кінетична енергія частинки набагато менша її енергії спокою) і для релятивістського випадку (коли кінетична енергія сумірна з енергією спокою частинки).

      В нерелятивістському випадку        (2)

                                                                            

де - маса спокою частинки. В релятивістському випадку                  (3)                 

де  - енергія спокою частинки. Формула (1) із врахуванням співвідношень (2) і (3) в нерелятивістському випадку

записується                    (4)

,                      

в релятивістському випадку                     (5)

.             

      Порівняємо кінетичні енергії електрона, який пройшов різниці потенціалів  і , з енергією спокою електрона і

в залежності від цього вияснимо, яку із формул (4) і (5) слід застосувати для обрахунку довжини хвилі де Бройля.

      Як відомо, кінетична енергія електрона, який пройшов прискорюючи різницю потенціалів U, .

      В першому випадку , що набагато менше від енергії спокою електрона . Тому в

цьому випадку слід застосувати формулу (4). Для спрощення обрахунків зауважимо, що . Підставивши цей вираз у

формулу (4), перепишемо її у вигляді                  (6) .  

 

Виконаємо обчислення за формулою (6):   .

 

 У другому випадку кінетична енергія   ,  

тобто рівна енергії спокою електрона. В цьому випадку необхідно застосувати релятивістську формулу (5). Врахувавши, що
, за формулою (5) знайдемо:
                   (7) .  

 

Виконаємо обчислення за формулою (7):   .

 

      Задача 4. Кінетична енергія ЕК електрона в атомі водню складає величину . Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.

 

Розв'язання

      Cпіввідношення невизначеностей для координати і імпульсу має вигляд:                    (1)

,                 

де - невизначеність координати частинки (в даному випадку електрона);

- невизначеність імпульсу частинки (електрона); h – постійна Планка. Із співвідношення невизначеностей випливає, що чим

точніше визначається положення частинки в просторі, тим більш невизначеним стає імпульс, а відповідно, і енергія частинки.

Нехай атом має лінійні розміри , тоді електрон атома буде знаходитися в межах області з невизначеністю     (2) .                                        

      Співвідношення невизначеностей (2) можна записати в цьому випадку у вигляді              , звідки                    (3) .               

      Невизначеність імпульсу , в будь-якому випадку, не повинна перевищувати значення самого імпульсу , тобто      

Імпульс  пов’язаний з кінетичною енергією  співвідношенням       Замінимо значенням . Перейшовши

від нерівності до рівності, отримаємо                  (4)

.                      

      Підставимо числові значення у рівняння (4) і виконаємо обчислення:      .

 

Задача 5.  Хвильова функція  описує основний стан частинки у нескінченно глибокій прямокутній ямі шириною . Визначити ймовірність знаходження частинки в малому інтервалі  в двох випадках: 1) поблизу стінки ); 2) в середній частині ями .

 

Розв'язання

 

  Ймовірність  перебування  частинки в інтервалі  виразимо через густину ймовірності за формулою:    (1)

   

      В першому випадку ймовірність знайдеться інтегруванням в межах від 0 до 0,01l:                  (2) .                

Так як змінюється в інтервалі ) і, відповідно, ,  то є справедливою наближена рівність:         .

Із врахуванням цього виразу рівняння (2) набуде вигляду         

.  

Після інтегрування отримаємо        .

 

      В другому випадку можна обійтися без інтегрування, так як квадрат модуля хвильової функції  поблизу її максимуму в заданому малому інтервалі  практично не змінюється. Ймовірність в другому випадку визначається:

або

.

 

Задача 6. Визначити можливі значення орбітального моменту імпульсу  електрона в збудженому атомі водню, якщо енергія збудження =12,09 еВ.

 

Розв'язання

      Орбітальний момент імпульсу  електрона визначається квантовим числом l за формулою:                  (1)  ,                

де  l – орбітальне квантове число (l = 0, 1, 2,…, n-1); .       Так як ряд можливих значень l обмежений

величиною n-1, знайдемо головне квантове число n за формулою:                  (2) .

              

      Формулу (2) перепишемо, враховуючи, що при n = 1             Е1 = -13,6 еВ:                 (3)

                     

Енергія збудження  є квант енергії, поглинутий атомом при переході з основного стану (n = 1) в збуджений. Тому,    (4)

Підставивши числові значення величин, виражені в електрон-вольтах, отримаємо

,

Звідки n = 3. Відповідно l = 0, 1, 2.      За формулою (1) знайдемо можливі значення :

при  l = 0  = 0;

при  l = 1  == 1,49∙10-34Дж·с;

при  l = 2   = = 2,6∙10-34Дж·с.

 

 

Задача 7. Визначити параметр а гратки і густину с кристалу кальцію, якщо відстань d між найближчими сусідніми атомами дорівнює 0,393 нм. Гратка кубічна гранецентрована.

Розв'язання

Параметр а гратки і відстань d між найближчими сусідніми атомами зв’язані простим геометричним співвідношенням, зрозумілим із нижче наведеного рисунка: .

Підставляючи в цей вираз числове значення d, отримаємо: .

      Густина с кристала пов’язана з масою  кілоатома і об’ємом  кілоатома співвідношенням                (1)

.                           

      Об’єм  знайдемо як добуток об’єму однієї елементарної комірки на число  елементарних комірок в одному кілоатомі:

.

      Враховуючи, що число елементарних комірок для кристала, який складається з однакових атомів, можна знайти, розділивши число Авогадро  на число  атомів, які припадають на одну елементарну комірку (), попередню рівність можна записати

у вигляді                   (2) .  Підставивши  вираз (2) в (1), отримаємо                (3)

.                         

      Підставимо дані у формулу (3), врахувавши, що число  у  випадку кубічної гранецентрованої гратки дорівнює 4:

.

 

Задача 8. Дебаївська температура кристалу дорівнює 150 К. Визначити максимальну частоту коливань кристалічної гратки, молярну ізохорну теплоємність і кількість фононів, які збуджуються при температурі 300 К.

 

Розв'язання

      Частота коливань кристалічної гратки залежить від дебаївської температури:        .

З цієї формули              (1)

.                    

Виконаємо обчислення за формулою (1)         

.

Середнє число фононів  з енергією               (2)

.              

Так як , то остаточно                  (3)

.                  

      Підставивши числові дані у формулу (3), виконаємо обчислення      

.

        Молярна ізохорна теплоємність визначається за формулою                 (4)

.

Виконаємо обчислення за формулою (4)    

.

 

Задача 9. Обчислити максимальну енергію  (енергію Фермі), яку можуть мати вільні електрони в металі (мідь) при абсолютному нулі. Врахувати, що на кожний атом міді припадає по одному електрону.

 

Розв'язання

      Максимальна енергія , яку можуть мати електрони в металі при абсолютному нулі, пов’язана з концентрацією  вільних

електронів співвідношенням                           (1) ,         

де  (h – постійна Планка); - маса електрона.Концентрація вільних електронів за умовою задачі рівна

концентрації атомів, яка може бути знайдена за формулою                   (2)

,                          

де - густина міді; - число Авогадро; - маса кілоатома.Підставляючи формулу (2) в (1),

отримаємо               (3)

.               

      Підставимо числові значення величин у формулу (3) і виконаємо обчислення     

 
.  

Задача 10. Деякий домішковий напівпровідник має гратку типу алмаза і тільки діркову провідність. Визначити концентрацію  дірок і їх рухливість , якщо постійна Холла . Питома провідність напівпровідника .

 

Розв'язання

      Концентрація  дірок пов’язана з постійною Холла для гратки алмазного типу співвідношенням              ,

де  - елементарний заряд.

Звідси                 (1)

.         

      Підставимо числові значення величин у формулу (1) і виконаємо обчислення:

.

      Питома провідність  напівпровідників виражається формулою: ,           (2)

де  і - концентрації електронів і дірок;   і - їх рухливості.

      При відсутності електронної провідності формула (2) набуде вигляду          .

Звідси рухливість дірок              .                              (3)

 

        Підставивши формулу (1) в (3), отримаємо                    (4) .                      

     

.

 

Задача 11. Обчислити дефект маси і енергію зв’язку ядра 3Li7.

 

Розв'язання

      Маса ядра завжди менша від суми мас вільних протонів і нейтронів (знаходяться поза ядром), з яких ядро утворилось.         Дефект маси ядра () і є різницею між сумою мас вільних нуклонів (протонів і нейтронів) і масою ядра, тобто

                        (1)

де  - атомний номер ( число протоні у ядрі); - масове число (число нуклонів у ядрі); - відповідно маси протона,

нейтрона і ядра.

      В довідкових таблицях завжди даються маси нейтральних атомів, але не ядер. Тому формулу (1) доцільно змінити так, щоб в

неї входила маса М  нейтрального атома.

      Можна рахувати, що маса нейтрального атома рівна сумі мас ядра і електрона, які складають електронну оболонку атома:

звідки          (2). Підставивши формулу (2) в (1), отримаємо   ,

або . Помітивши, що ,  де  - висота атома водню, на кінець знайдемо  

.                                (3)

      Підставивши у вираз (3) числові значення мас (згідно довідкових даних), отримаємо  

 

      Енергією зв’язку  ядра називається енергія, яка в тій чи іншій формі виділяється при утворенні ядра із вільних нуклонів.

        Відповідно до закону пропорційності маси і енергії          ,                                   (4)

де с – швидкість світла у вакуумі.

      Коефіцієнт пропорційності може бути виражений двояко:            . або            .

      Якщо обчислити енергію зв’язку, користуючись позасистемними одиницями, то               

        З врахуванням цього формула (4) набуде вигляду:         (5) .                     

      Підставивши раніше знайдене значення дефекта маси ядра у формулу (5), отримаємо  

.  

      Задача 12. При радіоактивному розпаді  виділяються -частинки. Визначити кількість атомів, що розпадаються в 1мг

натрію за: 1)10 год; 2)0,01 с. Період напіврозпаду натрію 14,8 год.

 

Розв'язання

1)   Число радіоактивних атомів зменшується за законом:                     (1)

де  - число радіоактивних атомів в момент часу , - число радіоактивних атомів, що не розпались за час , - постійна радіоактивного розпаду.

Число атомів, що розпались за час                      (2)  .                

  Так як , то   .   

 

Але де - молярна маса натрію, - число Авогадро.  

      Підставивши рівняння (3) в (2), отримаємо                         (5)   .              

Виконаємо обчислення за формулою (5) (ат.).

 

      2) У цьому випадку , тому можна вважати, що протягом всього проміжку часу  число атомів, які не розпались, залишається незмінним і рівним початковому числу атомів . Тому закон радіоактивного розпаду можна записати у вигляді:

.                                (6)

 

      Виконаємо обчислення за формулою (6):   (ат.).

 

Задача 13. Обчислити товщину шару половинного поглинання  паралельного пучка - випромінювання для води, якщо лінійний коефіцієнт поглинання .

 

Розв'язання

      При проходженні - випромінювання через щар речовини відбувається їх поглинання. Інтенсивність - випромінювання експоненціально зменшується в залежності від товщини шару                  .                        (1)

      Пройшовши поглинаючий шар товщиною, рівною товщині шару половинного поглинання , пучок - випромінювання буде

мати інтенсивність . Підставивши значення і  у формулу (1), отримаємо  , або після скорочення на

.

      Прологарифмувавши останній вираз, отримаємо невідоме значення товщини шару половинного поглинання    (2) .                      

      Підставивши у формулу (2) значення  і , знайдемо величину : .

 

Задача 14. При співударі α-частинки з ядром бору  відбулася ядерна реакція, в результаті якої утворилось два нових ядра. Одним із цих ядер було ядро атома водню . Визначити порядковий номер і масове число другого ядра, подати символічний запис ядерно

Розв'язання
 
Позначимо невідоме ядро символом . Так як α-частинка являє собою ядро гелію , реакцію запишемо у вигляді

.

Застосувавши закон збереження числа нуклонів, отримаємо рівняння 4+1=1+А, звідки А = 13.

Застосувавши закон збереження заряду, отримаємо рівняння 2+5=1+Z, звідки Z = 6.

Виходячи з цього, невідоме ядро являється ядром атома ізотопу вуглецю .

Тепер можемо записати реакцію в кінцевому вигляді:   .

 

Енергетичний ефект Q ядерної реакції визначається за формулою  .                  (1)

 

Тут в перших круглих дужках вказані маси вихідних ядер, в других дужках – маси ядер – продуктів реакції. При числових підрахунках за цією формулою маси ядер замінюють масами нейтральних атомів. Можливість такої заміни випливає із наступних міркувань.

Число електронів в електронній оболонці нейтрального атома дорівнює його зарядовому числу Z. Сума зарядових чисел вихідних ядер дорівнює сумі зарядових чисел ядер – продуктів реакції. Відповідно, електронні оболонки ядер гелію і бору містять разом стільки ж електронів, скільки їх містять електронні оболонки ядер вуглецю і водню.

Очевидно, що при відніманні суми мас нейтральних атомів вуглецю і водню від суми мас атомів гелію і бору маси електронів випадуть і ми отримаємо той же результат, якби взяли маси ядер. Підставивши маси атомів, взяті із довідкової таблиці, у формулу (1), отримаємо