Молекулярна фізика і термодинаміка.

Приклади розв’язування задач

 

Задача 1. В посудині об’ємом  3 м  знаходиться суміш  7 кг  азоту і  2 кг  водню при температурі  27С. Визначити тиск і молярну масу суміші газів.

 

Розв’язання:

 

Запишемо рівняння Менделєєва – Клапейрона  для азоту і водню                      (1)

(2)  

 

де      - парціальний тиск азоту,  - маса азоту,  - його молярна маса,  - об’єм посудини,  -   температура газу,

,   - парціальний   тиск водню,   - маса водню,  - його молярна маса. За законом  Дальтона, тиск суміші

рівний сумі парціальних тисків газів, що входять до складу суміші:                      (3)

Під парціальним тиском   і   розуміють той тиск, який чинив  би газ, якби він тільки один знаходився в посудині.

З рівнянь (1)  і  (2)  знайдемо    та   і  підставимо в рівняння (3)    

 

                (4)  

  Молярну масу суміші газів знайдемо за формулою:                  (5)                                       

 де і - число молів азоту і водню відповідно. Число молів газу знайдемо за формулами                   (6)  і         (7)   Підставляючи    (6)   і   (7)    в    (5),  знаходимо             (8)             

 

Підставляючи дані в (3)  і  (4),  знайдемо:                                 

.

Задача 2. Визначити середні кінетичні енергії поступального і обертального руху молекул, що містяться в  4 кг кисню при температурі 200 К.

 

Розв’язання:

 

 

Для двохатомного ідеального газу, яким є кисень, число ступенів вільності молекули. В середньому на один    ступінь вільності припадає енергія    де  - стала Больцмана, - термодинамічна температура.З п’яти ступенів вільності поступальному руху відповідає три (), а обертальному два (. Тоді енергія одної молекули,  .   Число   молекул, що

містяться в кисні де    

 

- маса кисню,   - його молярна маса,   - кількість молів, - стала Авогадро.Тоді середня кінетична енергія поступального руху молекул   кисню   (1)

   

де  - молярна газова стала.Середня кінетична енергія обертального руху молекул кисню   (2)  

 

Підставляючи числові значення у формули  (1)  і  (2),отримаємо    

 

.

 

.

 

Задача 3. Визначити середню довжину вільного пробігу молекул і число співударів за  1 с, що відбуваються між всіма молекулами водню, який міститься в посудині об’ємом 1 л  при температурі 27С і тиску 10.

 

Розв’язання:

 

Середня довжина вільного пробігу молекул    (1) де   - ефективний діаметр молекули,  -  концентрація молекул.

Концентрацію    молекул визначаємо з основного рівняння молекулярно -кінетичної теорії: 

Звідки                                     (2)   де    - стала Больцмана.  Підставляючи  (2)  в  (1)

 

 маємо                 (3)   Число співударів  , що відбуваються між всіма молекулами за  1с, знаходимо із

 

співвідношення           (4)   де   - число молекул водню в посудині об’ємом   .

 

 - середнє  число співударів однієї молекули за  1 с.     Число молекул в посудині                (5)

Середнє число зіткнень молекули за 1 с         (6) де    - середня арифметична швидкість молекули
                                

Підставляючи в (4)  вирази  (5),  (6),  (7),  знаходимо

=.

 

 

.

 

.

 

Задача 4. Визначити коефіцієнт дифузії і внутрішнього тертя гелію, температура якого 200 К  і  тиск  10 Па.

 

Розв’язання:

 

 

Коефіцієнт дифузії          (1)

 

де   - середня арифметична швидкість   молекул, яка  рівна                 (2)         

                 

 - середня довжина вільного пробігу молекул.  

Але                      (3) Підставляючи    (2)  і  (3)  в  (1), отримаєм:       (4)  

        

Коефіцієнт внутрішнього тертя            (5)     

 

де    - густина газу при температурі 200 К і тиску 10Па.Для знаходження    скористаємось рівнянням стану ідеального газу  

 

   (6)

                  

Врахувавши, що      ,    отримаєм:                                              (7)

 

Коефіцієнт внутрішнього тертя газу через коефіцієнт дифузії виражається співідношенням:                    (8)  

 

Підставляючи числові значення в    (4)  і  (8),  отримаємо:  

 

    .  

 

 

 Задача 5. Об’єм аргону, що знаходиться під тиском  80 кПа, збільшився від  1 л   до  2 л . Як зміниться внутрішня енергія газу, якщо розширення проводилось: а) ізобарно;  б) адіабатно.

 

Розв’язання:

 

Використаємо перший закон термо -  динаміки. Згідно цього закону кількість теплоти, передана системі, витрачається  на збільшення внутрішньої енергії  і на виконання зовнішньої механічної  роботи  :         (1)       

де                             (2)   Тут   - маса газу,    - молярна ізохорна теплоємність, рівна          (3)  

   

де   - число ступенів вільності. Тоді вираз  (2)  прийме вигляд:          (4)                        

 

Запишемо рівняння Клапейрона-Менделеєва для початкового і кінцевого станів газу при ізобарному процесі                

                     

 

Звідки  

                         

 

Підставивши    (5)  в  (4),  отримаємо        (6)  

                            

При адіабатичному розширенні газу теплообмін з зовнішнім середо-вищем відсутній, тому  . Рівняння  (1)  запишемо у

вигляді            (7)

або                    (8) 

Знак “мінус” перед    означає, що робота розширення газу може бути виконана лише за рахунок зменшення внутрішньої енергії газу.Робота, що здійснюється газом при адіабатичному процесі        (9)  

,                            

де   -  показник адіабати. Для одноатомного   газу аргону    .    Тому   .   Знайдемо зміну внутрішньої

 

енергії в адіабатичному процесі для аргону, враховуючи формули  (8)  і  (9):        (10)                      

 

Підставляючи числові значення в  (6)  і  (10), отримаємо:

а) при ізотермічному розширенні:            .

 

б) при адіабатичному розширенні:            .