ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4

Похибки прямих та непрямих вимірювань у лабораторних роботах

І. Похибки прямих вимірювань

І. І. Прямими (безпосередніми) називаються вимірювання фізичних величин, для яких створені еталони та алгоритми порівняння вимірювальної величини з еталоном, - вимірювальні прилади. Внесення вимірювального приладу в систему часто змінює характеристики самої системи, тому необхідно вміти передбачати такі впливи. Наприклад, вимірювання напруги джерела з великим внутрішнім опором за допомогою низькоомного вольтметра може дати різні результати в залежності від співвідношення цих опорів.

При прямих вимірюваннях ми вважатимемо, що схема вимірювання досконала і внесення туди вимірювального приладу не призводить до зміни вимірюваних величин.

І. ІІ. Абсолютні та відносні похибки

Абсолютною похибкою називають різницю між істинним значенням величини Х_іст та його наближеним значенням Х:

Відносною похибкою називають відношення абсолютної похибки виміру до його істинного значення:

Абсолютна та відносна похибки завжди додатні числа. На практиці точне значення Х, як правило, невідоме, тому замість нього найчастіше використовують середнє значення із серії вимірів.

Із точністю отриманих результатів безпосередньо пов’язане питання значущих цифр. Значущими цифрами називають всі правильні цифри мантиси числа. При записі абсолютної похибки прийнято використовувати одну значущу цифру, наприклад:

Δа = 0,07; Δв = 200.

Значущі цифри результату повинні закінчуватись в тому ж розряді, що й значуща цифра абсолютної похибки:

а = 3,75; в = 4500.

ІІ. Обчислення похибки при непрямих вимірюваннях величин

Досить часто трапляється ситуація, коли безпосередньо поміряти значення певної величини неможливо. Проте, знаючи модельну залежність цієї величини від інших величин (формулу), її значення можна розрахувати. Таке вимірювання називається непрямим.

Наприклад, щоб визначити площу криволінійного кола S, ми міряємо його радіус R і обчислюємо площу за формулою:

Як, знаючи точність вимірювання R, оцінити значення похибки S? Точність непрямих вимірювань залежить як від способу вимірювання (формули), так і від точності вимірів усіх величин, які в цю формулу входять.

К.Ф.Гаусс, вважаючи похибку вимірів малою, запропонував лінеаризувати вираз для обчислення результату в околі середніх значень поміряних величин і шукати похибку так, як знаходять повний диференціал функції. Єдина відмінність полягає у використанні того факту, що похибки — завжди додатні величини.

Покажемо підхід Гауса на прикладі функції:

Z=f(x,y,t).

Лінеаризуючи f(x,y,t) в околі значень отримаємо вираз для обчислення повного диференціала:

Значення часткових похідних, взятих по модулю:

в теорії похибок називають чутливостями функції f відповідно до змін величин x, y, t.

Для визначення абсолютної похибки непрямого вимірювання користуються формулою:

тобто, похибку непрямого вимірювання шукають згідно з тими ж правилами, що й повний диференціал цієї величини. Формальна відмінність полягає в тому, що всі арифметичні знаки ± при чутливостях змінюють на знаки +, а знаки диференціалів d – на значки похибок Δ.

Наведемо формули для обчислення абсолютних похибок:

Якщо вираз для обчислення шуканої величини являє собою терм (вираз, що не містить знаків + чи -), зручніше спочатку шукати відносну похибку, а потім абсолютну.

Алгоритм такого обчислення такий: вираз спочатку логарифмують, а вже потім диференціюють.

Наприклад:

При практичному використанні такого підходу етап логарифмування можна пропустити, а похибку шукати згідно з правилом: відносна похибка результату дорівнює сумі відносних похибок окремих змінних взятих з такими коефіцієнтами, в якому степені вони входять у терм.