Теми для підготовки
Тема 1.
Вступ до оптимізації
Означення теорії автоматизації.
Фізичні та математичні об’єкти оптимізації. Критерії оптимізації., параметри
оптимізації. Задачі безумовної оптимізації. Задачі оптимізації з обмеженнями.
Типи обмежень. Однопараметричні та багатопараметричні задачі оптимізації. Загальна структура
оптимізаційної задачі. Класифікація задач оптимізації.
Методи розв’язку задач
оптимізації. Класичні методи. Методи пошуку екстремуму. Приклади постановки
задач оптимізації: задачі розподілу ресурсів; задачі параметричної оптимізації
систем автоматичного керування.
Тема 2.
Методи безумовної однопараметричної оптимізації
1.
Властивості функцій однієї змінної
Неперервні, розривні, дискретні
функції. Стаціонарні точки. Точки перегину, мінімуму та максимуму. Необхідні та
достатні умови існування локального екстремуму. Унімодальні
функції.
2.
Класичні методи оптимізації
Суть класичних методів
оптимізації. Функції MATLAB для
розв’язку нелінійних рівнянь та методи пошуку, в них закладені.
3. Пошук
екстремуму в задачах із унімодальними критеріями
оптимізації
Поняття екстремуму. Похибка
екстремуму. Пасивні та послідовні стратегії пошуку. Оцінка ефективності пошуку
екстремуму. Мінімаксна стратегія пошуку.
4.
Пасивний пошук екстремуму
Випадок двох експериментів.
Випадок трьох експериментів. Пошук екстремуму рівновіддаленими парами. Випадок
непарного числа експериментів.
5.
Послідовні мінімаксні стратегії пошуку
Теоретичні підстави методів
зменшення інтервалу невизначеності. Метод дихотомії. Метод Фібоначчі (Кіфера). Метод золотого перетину. Зв’язок між методами
Фібоначчі та золотого перетину. Рівняння Люкаса.
Пошук екстремуму при дискретно заданих параметрах оптимізації (пошук по
дискетах). Порівняльна таблиця ефективності мінімаксних
методів пошуку.
6. Методи
оцінки значень екстремуму з використанням поліноміальної апроксимації
Квадратична апроксимація
неперервної унімодальної функції. Метод Пауелла.
Кубічна апроксимація унімодальних функцій. Умова
диференційованості. Метод Давідона.
7.
Встановлення границь початкового інтервалу невизначеності
Суть проблеми встановлення
початкових інтервалів невизначеності. Евристичний метод Свенна
для унімодальних і диференційованих критеріїв
ефективності.
Функції MATLAB для розв’язку задач однопараметричної
оптимізації та методи в них закладені.
Рекомендована
література: 1-9.
1. Методологічні основи оптимізації.
Необхідні умови використання методів оптимізації. Класифікація
задач оптимізації з позицій системного аналізу. Види оптимізаційних задач. Задачі з одним екстремумом і багатоекстремальні
задачі. Одно- і багатокритеріальні задачі оптимізації.
2. Структурно-математичний опис технологічних процесів як основа їх оптимізації
Застосування основних типів математичних моделей
структури потоків для опису технологічних процесів. Кінетичні моделі.
Статичні та динамічні моделі ОХТ.
Повна математична модель ОХТ, як основа його оптимізації. Математична модель
процесу, як засіб прогнозування закономірностей зміни критерія оптимізації.
3.
Математичні
моделі технологічних процесів
галузі та основні
методи їх розв’язання
Теоретичні основи процесів
і апаратів хімічних
виробництв, як передумова їх
оптимізації. Основні методи визначення динамічних характеристик процесу. Вибір
критерія оптимізації процесу. Вплив зміни вхідних факторів ОХТ процесу на величину критерія оптимізації.
4.
Методи оптимізації технологічних процесів
галузі. Вибір критерія оптимізації технологічних процесів (ОХТ)
Розв’язання оптимізаційних задач за допомогою методів
лінійного та нелінійного програмування. Оптимізація задач
із функціями однієї
змінної. Оптимізація задач
із функціями кількох
змінних. Метод Гауса–Зейделя. Метод випадкового
пошуку.
5.
Експериментально-статистичні методи
оптимізації технологічних процесів
Методика розроблення та реалізація оптимального плану активних
багатофакторних експериментів. Цілі та методика виконання кореляційного,
дисперсійного та регресійного аналізів. Рух до екстремуму методами крутого сходження. Метод симплексів. Метод
градієнта. Метод крутого сходження. Алгоритм реалізації
експериментально-статистичних методів оптимізації.
6.
Розроблення математико-статистичної моделі
основних хімічних процесів
Розробляння алгоритму вирішення
задачі математичної моделі.
Оброблення результатів реалізації планів повних і дробових
багатофакторних експериментів. Аналіз результатів і їх оформлення. Розробляння алгоритму рішення
моделі. Розробляння і налагодження програми. Використання
пакетів прикладних програм. Оцінка відтворюваності
отриманих результатів. Перевірка адекватності моделі реальному об’єкту.
7.
Приклади застосування математичних моделей
технологічних процесів систем для
оптимального керування
Застосування засобів комп’ютерного моделювання з використанням повних математичних моделей
технологічних процесів, як одного із сучасних методів
дослідження та оптимізації процесів.
Питання для самоконтролю
теоретичного курсу
1.
Послідовність етапів вирішення задачі
оптимізації на математичній моделі.
2.
Постановка
задачі оптимізації в загальному вигляді.
3.
Структура математичної моделі технологічного процесу.
Параметри моделі.
4.
Характеристика і умови використання критерія оптимальності.
5.
Рішення багатокритеріальних задач.
Що таке економічний і технологічний критерії оптимальності?
6.
Використання
методів оптимізації в інженерній практиці.
Приклади постановки задач.
7.
Класифікація
задач оптимізації.
8.
Які задачі відносяться до задач лінійного програмування і цілочисельного програмування?
9.
Які задачі відносяться до задач умовної
і безумовної оптимізації?
10.
Коли складність задач
нелінійної оптимізації наростає
і чому?
11.
Класифікація
методів оптимізації.
12.
Які питання необхідно
з´ясувати під час рішення задачі оптимізації методом класичного аналізу?
13.
Які групи методів
рішення задачі оптимізації краще використовувати для
рішення моделі об‘єктів описаних кінцевими, а які - диференціальними рівняннями?
14.
Якими методами розв´язують задачі оптимізації динамічних моделей?
15.
Постановка
задачі однопараметричної оптимізації. Поняття унімодальності цільової функції.
16.
Алгоритм пошуку інтервалу
невизначеності в задачі однопараметричної оптимізації.
17.
Алгоритм знаходження оптимального значення методом ділення
відрізку навпіл.
18.
Алгоритм знаходження оптимального значення методом «золотого розтину».
19.
Алгоритм пошуку оптимального значення методом квадратичної апроксимації.
20.
Постановка
задач лінійного програмування.
21.
Характеристика поля допустимих значень
в задачі лінійного
програмування.
22.
Послідовність рішення задачі лінійного
програмування графічним або симплекс-методом.
23.
Рішення задачі лінійного програмування симплекс-методом із використанням штучного
базису.
24.
Постановка
задачі оптимізації товщини
шару ізоляції паропроводу.
25.
Постановка
задачі оптимізації фільтрування дифузійного соку.
26.
Постановка
задачі оптимізації попередньої дефекації.
27.
Постановка
задачі оптимізації конструктивних розмірів вузлів апарата.
28.
Постановка задачі оптимізації розподілу
випуску продукції між обладнанням.
29.
Постановка
задачі динамічної оптимізації.
30.
Постановка
задачі оптимізації хімічної
реакції.
31.
Постановка
задачі оптимізації екстракції цукрози в дифузійному апараті.
32.
Побудова плану повного
факторного експерименту.
33.
Послідовність знаходження коефіцієнтів лінійної
моделі за результатами експерименту виконаного згідно плану.
34.
Оцінка достовірності дослідних даних за критерієм
Кохрена.
35.
Оцінка коефіцієнтів математичної моделі за допомогою критерія Ст‘юдента.
36.
Оцінка адекватності математичної моделі експериментальним даним за допомогою критерію Фішера.
37.
Рух до оптимуму
методом крутого сходження.
38.
Факторний експеримент другого
порядку.
39.
Знаходження
оптимального розподілу потоків
фрагменту технологічної структури цукрового виробництва за допомогою методу
сіток.
40.
Постановка
задачі багатопараметричної оптимізації.
41.
Умова наявності локального мінімуму в точці та норма вектора параметрів оптимізації.
42.
Графічне зображення цільової
функції двох змінних.
Особливості ліній
рівня рельєфів котловинного, яристого і неупорядкованого виду.
43.
Точність знаходження
екстремуму в задачах нелінійної оптимізації.
44.
Класифікація
методів нелінійної оптимізації: умовної, безумовної.
45.
Алгоритм методу покоординатного спуску.
46.
Алгоритм методу покоординатного спуску з одновимірною оптимізацією.
47.
Постановка
і рішення задачі
оптимізації градієнтним методом.
48.
Алгоритм градієнтного методу
з подвоєнням кроку.
49.
Оптимізація
методом випадкового пошуку за найкращою cпробою.
Теми рефератів
Тема 1.
«Методи безумовної багатопараметричної оптимізації»
1.1.
Функції багатьох змінних. Елементи теорії поля
1. Скалярне поле
2. Еквіпотенціальні лінії.
3. Диференціальна характеристика
скалярного поля.
4. Комп’ютерний інструментарій
для графічного зображення функцій двох змінних і їх властивостей.
5. Градієнт скалярного поля.
6. Диференціальна характеристика
векторного поля градієнта.
7. Матриця Гессен.
8. Необхідні та достатні умови
локального екстремуму функції багатьох змінних.
9. Сідлові точки.
10.Перевірка матриці Гессен на
додатну визначеність.
1.2.
Класичні методи багатопараметричної оптимізації
1. Суть класифікації методів багатопараметричної оптимізації.
2. Необхідні умови екстремуму.
3. Розв’язок системи лінійних
алгебраїчних рівнянь у задачах оптимізації.
4. Проблема поганої зумовленості
матриць.
5. Алгоритм Гауса-Зейделя.
6. Довільний критерій якості.
7. Апроксимація системи
нелінійних рівнянь необхідних умов екстремуму.
8. Матриця Якобі.
9. Метод Ньютона.
10. Модифікований метод Ньютона
класичної оптимізації.
11. Функції MATLAB для розв’язку систем алгебраїчних рівнянь і
закладені в них методи.
1.3.
Пошук екстремуму функцій багатьох змінних
1. Суть пошукових методів у багатопараметричній оптимізації.
2. Методи, побудовані на
інтуїтивних геометричних представленнях (евристичні методи) та теоретичні
методи.
3. Методи прямого пошуку.
4. Пошук вздовж напрямку.
5. Градієнтні методи пошуку.
1.4.
Евристичні методи прямого пошуку
1. Метод покоординатного
спуску та його модифікація – метод релаксацій.
2. Методи пошуку за симплексом.
3. Регулярний та деформований
симплекс.
4. Метод Нелдера-Міда.
5. Застосування функції FMINS середовища MATLAB.
1.5.
Метод спряжених напрямків. Теоретичні основи
1. Квадратичні критерії та
квадратичні форми.
2. Лінії рівня квадратичного
критерія.
3. Головні осі еліпсоїду та їх
напрямки.
4. Геометрична інтерпретація
характеристичних чисел і власних векторів матриці Гессен для квадратичного
критерія.
5. Модальна матриця та матриця
направляючих косинусів осей еліпсоїда.
6. Спряжені напрямки та їх
побудова.
7. Метод спряжених напрямків
Пауелла.
1.6.
Градієнтні методи пошуку екстремуму
1. Основна інтерпретація
градієнтних методів.
2. Метод найшвидшого спуску
(метод Коші).
3. Пошуковий метод Ньютона.
4. Комбінований метод
Ньютона-Коші (метод Марквардта).
5. Суть методу спряжених
градієнтів. Метод Флерчера-Рівса.
6. Теоретичні основи квазіньютонівських методів пошуку екстремуму (методів
змінної метрики).
7. Метод Давідона-Флерчера-Пауелла. Метод Пройдена-Флетчера-Шенно.
8. Оцінка методів безумовної
оптимізації за рівнем цитованості.
9. Функції MATLAB для розв’язку задач багатопараметричної
безумовної оптимізації та методи в них закладені.
Тема 2.
Нелінійна оптимізація за наявності обмежень
2.1.
Класичні методи умовної оптимізації
1. Обмеження у вигляді рівностей.
2. Метод множників Лагранжа.
3. Необхідні та достатні умови
оптимальності.
4. Обмеження у вигляді нерівностей.
5. Задача нелінійного
програмування.
6. Умови оптимальності Куна-Таккера.
7. Задача Куна-Таккера.
2.2.
Методи пошуку екстремуму в задачах із обмеженнями (нелінійне програмування)
1. Суть методів пошуку екстремуму
в задачах із обмеженнями.
2. Метод штрафних функцій.
3. Перетворення задачі умовної
оптимізації в послідовних задачах безумовної оптимізації.
4. Основні типи штрафів.
5. Квадратичний, логарифмічний та
обернений штрафи.
6. Штрафи типу квадрату зрізу.
7. Штрафи, що враховують
обмеження – рівності.
8. Штрафи на обмеження
нерівності.
9. Вибір штрафного параметра.
10. Інші основні ідеї нелінійного
програмування.
11. Функції MATLAB для розв’язку задач багатопараметричної
умовної оптимізації та методи в них закладені.