Розділ 1

Метод сил

1.1. Міра статичної невизначеності систем

 

Розрахунок статично невизначних систем починають з аналізу розрахункової схеми споруди. Це необхідне для того, щоб визначити міру статичної невизначеності системи, яка рівна числу зайвих зв'язків:

n=-W,            де         W = 3D - 2 Ш - С

тобто

                                        n = С+2Ш-ЗD                                       (1)

тут:                  С- число опорних зв'язків;

       Ш - число простих шарнірів;

       D - число жорстких дисків.

Наприклад:

 

n=5+2×1-3×2=1

 

Однак, ця формула справедлива лише в тому випадку, якщо окремі диски не є замкненими контурами, тобто кожний з них сам по собі статично визначений. Якщо ж рама має замкнені контури, то необхідно враховувати ще і статичну невизначеність кожного такого контуру.

 

Замкнений контур тричі статично невизначний n=3

 

М

У шарнірі М = 0;   тобто    n = 2, введений простий шарнір зменшує

міру статичної невизначеності замкненого контуру на 1 одиницю.

Таким чином для рам, що мають замкнені контури, міра статичної невизначеності обчислюється за формулою:

n=3К-Ш

Наприклад:

 

n=3×4-0=12                                      n=3×4-4=8

 

1.2. Основна система методу сил

 

Основна система методу сил виходить із заданої шляхом відкидання "зайвих" зв'язків. Замість відкинутих зв'язків прикладають невідомі узагальнені сили XI, Х2,........, Хn.

"Зайві" зв'язки потрібно видаляти таким чином, щоб отримана основна система у всіх своїх частинах була статично визначною і геометрично незмінною.

Способи утворення основних систем:

1) можна відкинути "зайві" опорні зв'язки, і в напрямку відкинутих зв'язків прикласти невідомі опорні реакції;

 

   n=2                

2) можна розрізати суцільний брус і в перетині прикласти парні моменти, поперечні і поздовжні сили;

n=3  

3) можна видалити один внутрішній зв’язок, вводячи у вісь жорсткості елементу шарнір

 

n=1     

4)  можна зробити розріз по шарніру, це рівносильно видаленню двох внутрішніх зв'язків: поперечної і поздовжньої сил;

 

          n=2             

 

5)   можна   розрізати   стержень,   з  двох   сторін   прикріплений   шарнірно  до   системи.   У   такому неза вантаженому стержні виникає одна поздовжня сила.

n=1                

 

1.3. Канонічні рівняння методу сил

 

Ідея методу сил: в заданій системі переміщення у напрямі відкинутих зв'язків рівні нулю. У основній системі у напрямі відкинутих зв'язків переміщення можуть  як бути рівні 0, так і не 0. Щоб задана і основна системи були рівноцінні в значенні зусиль і деформацій, необхідно підібрати такі зусилля XI, Х2,. . , Хn щоб переміщення у напрямі відкинутих зв'язків, в основній системі, від дії зовнішнього навантаження і зусиль XI, Х2,. . , Хn також дорівнювали нулю.

 

тобто     

де

                                  

тоді

                                  

 

де δ_i1. переміщення у напрямку i від дії    X₁ = 1.

Δ_ip . переміщення у напрямі i від дії зовнішнього навантаження.

Якщо система має n невідомих, то система канонічних рівнянь методу сил запишеться:

 

перше рівняння: переміщення у напрямку X₁ від дії невідомих X₁, X₂, …  X_n  і зовнішнього навантаження, в основній системі, повинно дорівнювати нулю.

Коефіцієнти з однаковими індексами δ_ii- називають головними коефіцієнтами, δ_ik- побічними, причому δ_ik=δ_ki (на основі теореми Максвелла), Δ_ip- вантажний коефіцієнт.

 

 

1.4. Визначення коефіцієнтів системи канонічних рівнянь

 

коефіцієнт δ_ii- переміщення у напрямі X_i від дії X_i = 1

тобто для знаходження коефіцієнта δ_ii треба побудувати епюру згинаючих моментів від дії сили X_і = 1   і перемножити її за правилом Верещагіна саму на себе.

будуємо епюри згинаючих моментів від дії X_і = 1  і від Х_к =  1  і перемножуємо їх за правилом Верещагіна.

На основі теореми Максвелла:

тобто,  будуємо епюри  згинаючих  моментів  від дії X_і=1   та  від зовнішнього навантаження  і перемножуємо їх за правилом Верещагіна.

Приклад

 

               

 

1.5. Перевірка правильності обчислення коефіцієнтів

 

Для виконання перевірок будується сумарна одинична епюра , отримана шляхом складання усіх одиничних епюр, в прикладі:

1.   Універсальна  перевірка  одиничних  коефіцієнтів  полягає  в  тому,  що   сума  всіх  одиничних коефіцієнтів дорівнює результату множення сумарної одиничної епюри самої на себе:

 

в прикладі:

2.    Порядова перевірка одиничних коефіцієнтів полягає в тому, що сума одиничних коефіцієнтів одного рівняння і дорівнює результату перемноження сумарної одиничної епюри на Мі:

в прикладі:

 

3.   Перевірка вантажних коефіцієнтів полягає в тому, що сума всіх вантажних коефіцієнтів дорівнює результату перемноження сумарної одиничної епюри на вантажну:

в прикладі:

Після підстановки коефіцієнтів в систему канонічних рівнянь, розв’язують систему і визначають невідомі X_I, Х₂,. .. , Х_n.

Систему розв’язують будь-яким із відомих способів: вираженням одних невідомих через інші, або за допомогою визначників, або способом Гаусса. Якщо система містить багато невідомих її найкраще розв’язувати за допомогою стандартних програм на ПЕОМ.

 

1.6. Побудова результуючих епюр М, Q, N

 

Після того, як визначені невідомі Х₁ Х₂,......, Х_n   результуючу епюру М можна побудувати двома способами:

1)  знайдені в результаті рішення системи рівнянь невідомі Х₁, Х₂,......, Х_n прикладають до основної системи разом із заданим навантаженням і будують епюру М, як для статично визначної рами;

2)  можна скористатися уже відомими одиничними епюрами М_і та вантажною М_Р.

Алгебраїчно складаючи ординати вантажної епюри М_Р з ординатами збільшеними в  X_і разів отримують результуючу епюру М :

 

 

 

Перевірка правильності побудови кінцевої епюри М:

1.   Так як вузли рами знаходяться в рівновазі, то алгебраїчна сума згинаючих моментів і зовнішніх, прикладених до даного вузла, повинна дорівнювати нулю.

Наприклад:

 

 

2.    Деформаційна перевірка полягає в тому, що результат перемноження остаточної епюри М на будь-яку  можливу   одиничну  епюру,   побудовану  для   основної   системи   методу  сил,   повинен дорівнювати нулю, так як в заданій системі переміщення у напрямі відкинутого зв'язку, для якої будується одинична епюра, дорівнює нулю, тобто

Епюру поперечних сил будемо будувати використовуючи результуючу епюру моментів. Побудова епюри Q грунтується на рівновазі вирізаного з системи стержня або частині його. Раму розчленовують на окремі елементи (балки) і, розглядаючи кожний такий елемент як статично визначну однопролітну балку, поелементно будують епюри Q. Завантажують такі однопролітні балки зовнішнім заданим навантаженням і опорними моментами. Опорні моменти беруть з кінцевої епюри М.

Наприклад:

 

У межах ділянок де епюра М прямолінійна, поперечна сила може визначатися за формулою Журавського:

де α - кут нахилу епюри М до осі елемента.

На епюрі поперечних сил обов'язково слід ставити знаки.

 

Епюру поздовжніх сил будують по епюрі Q способом вирізування вузлів. Починати вирізування треба з того вузла, в якому невідомі поздовжні зусилля не більш ніж в двох елементах. До вирізаного вузла прикладають зовнішні зосереджені сили (якщо такі є), а до розрізаних елементів поперечні сили. Позитивні поперечні сили прикладають до елемента так, щоб вони обертали вузол за годинниковою стрілкою, негативні - проти. Невідомі поздовжні зусилля направляють від вузла, відомі - в залежності від знаку зусилля.

Наприклад:

 

Ординати епюри поздовжніх зусиль можна відкладати у будь який бік, але обов'язково ставити знаки.

 

1.7. Особливості розрахунку статично невизначних систем на зміну температури

 

При розрахунку статично невизначних рам, або інших систем, на зміну температури канонічні рівняння методу сил мають вигляд:

 

 

Тут вільні члени Δ_1t  Δ_2t  Δ_nt являють собою переміщення основної системи у напрямі відкинутих зв'язків Х₁, Х₂,...., Х_n від дії температури.

Основна система методу сил вибирається аналогічно як і при розрахунку рами на дію зовнішнього навантаження.

Будують, як звичайно, одиничні епюри M₁ , М₂,...,М_n та визначають одиничні коефіцієнти δ_ік .Переміщення від дії температури:

де    α - коефіцієнт лінійного розширення матеріалу з якого виконана система;

M_k  N_k - зусилля в стержнях основної системи від дії Х_к = 1;

t_H, t_B - температура зовні рами і всередині.

Знак переміщення Δ_kt визначається так: якщо деформації елемента dS від температури і одиничної сили аналогічні, то знак відповідного додатку буде додатнім і навпаки. (Тобто знак додатків, що входять в Δ_kt береться "плюс", якщо деформації елемента від дії Х_к =1 і зміни температури співпадають і "мінус",   якщо не співпадають).

Після визначення невідомих Х₁ Х₂, ...., Х_n, остаточну епюру згинаючих моментів від дії температури отримують як алгебраїчну суму виправлених епюр:

 

 

1.8. Особливості розрахунку статично невизначних систем

на зміщення опор

Осідання опор споруд може відбуватися через податливість ґрунту під фундаментом, при гірських виробітках, карстових явищах і т.д.

Система канонічних рівнянь при розрахунку споруд на зміщення опор записується:

 

тут Δ_КС - це переміщення у напрямі Х_к викликане зміщенням опор.

Переміщення опор визначають, спостерігаючи за спорудою в процесі її експлуатації, задаються маркшейдерами при шахтних виробітках територій, що забудовуються і т.д.

Наприклад, при нерівномірному осіданні опор, як це показане на малюнку

 

 

 

С_і - задане осідання опори у напрямі і-го опорного зв'язку.

R_iK - реакція і-го  опорного зв'язку від дії Х_к = 1.

Одиничні коефіцієнти δ_ік визначають, як звичайно, шляхом перемноження епюр М₁, М₂,...М_n , побудованих для основної системи за методом сил.

Після визначення невідомих Х₁, Х₂, ...., Х_n, остаточну епюру згинаючих моментів від осідання опор отримують як алгебраїчну суму виправлених епюр:

 

 

1.9. Спрощення канонічних рівнянь методу сил при розрахунку симетричних рам

 

Основна трудність застосування методу сил при розрахунку рам, що мають велику ступінь статичної невизначеності, пов'язана з визначенням коефіцієнтів і розв’язанням системи канонічних рівнянь. При розрахунку симетричних рам, є ряд прийомів, що дозволяють частину побічних коефіцієнтів δ_ік перетворити в нуль.

Одним з таких прийомів є використання симетрії рами при виборі основної системи методу сил. Тобто основну систему необхідно вибрати симетрично, причому постаратися, щоб як можна більше число невідомих було у вигляді прямо- і оберненосиметричних зусиль.

Симетричні невідомі створюють симетричні епюри моментів, а оберненосиметричні невідомі   кососиметричні епюри. Результат перемноження таких епюр:

 

Тоді в нашому випадку δ₁₂ = δ₂₁ = 0; δ₁₃ = δ₃₁ = 0, і система з трьох рівнянь з трьома невідомими:

 

після підстановки коефіцієнтів перетворюється в одне незалежне рівняння:

 

і систему з двох рівнянь з двома невідомими:

 

 

Групування невідомих.

Часто, при розрахунку симетричних рам, не вдається вибрати основну систему так, щоб всі невідомі розмістилися на осі симетрії. Тому для отримання симетричних і зворотно симетричних епюр доводиться в якості невідомих застосовувати не окремі сили, а групи прямо і кососиметричних сил.

 

    n=2 

 

 

 

Перетворення навантаження

Будь-яке навантаження, прикладене до симетричної рами, можна розкласти у вигляді симетричного і кососиметричного.

При навантаженні рами симетричним навантаженням в симетричних зв'язках будуть виникати тільки симетричні невідомі зусилля, а при навантаженні оберненосиметричним навантаженням обернено симетричні .

Порядок розрахунку наступний:

1) перетворюють навантаження на прямо симетричне і обернено симетричне;

2)  розраховують раму незалежно на прямо- і кососиметричне завантаження, враховуючи при цьому, що при прямо симетричному завантаженні виникають тільки симетричні зусилля у відкинутих зв'язках, а при обернено симетричному завантаженні    тільки кососиметричні зусилля. Це значно скоротить розрахунок в кожному варіанті завантаження. Рішення доводять до побудови епюр М_пс  і

М_кс;

3) кінцеву епюру отримують підсумовуванням епюр, отриманих в кожному розрахунку             М=М_пс+М_кс

 

 

Порядок розрахунку рам методом сил

 

1. Визначають ступінь статичної невизначеності системи:

n= С+2Ш - 3D;

або

n = ЗК-Ш;

2.   Вибирають   найбільш  раціональну  основну  систему  методу  сил   (з  урахуванням  можливих спрощень).

3.  Записують систему канонічних рівнянь методу сил.

4. Для основної системи будують одиничні М_і і вантажну М_Р епюри моментів.

5. Визначають коефіцієнти системи канонічних рівнянь.

6. Перевіряють правильність обчислення коефіцієнтів (універсальна, порядкова і перевірка вантажних коефіцієнтів).

7. Розв’язують  систему  канонічних  рівнянь і визначають значення невідомих  Х₁ , Х₂,...., Х_n. Правильність рішення системи потрібно перевірити підстановкою знайдених невідомих в систему рівнянь.

8. Будують виправлені епюри M_і ×X_і

9. Складаючи виправлені епюри та вантажну, отримують кінцеву епюру             M = М_Р+ΣМі×Хі.

10. Перевіряють правильність побудови епюри М:

а) статична перевірка - повинна бути рівновага моментів у вузлах

в) деформаційна перевірка (М×М_і ) = 0.

11.  По епюрі М будують епюру поперечних зусиль Q, а по епюрі Q - епюру поздовжніх зусиль N.

12. Виконується статична перевірка рівноваги рами загалом:

 

в ці рівняння входить задане навантаження і опорні реакції, які беруть з епюр М, Q, N.

13. У випадку необхідності визначають переміщення вказаних перетинів рами.

 

Визначення переміщень статично невизначних систем

Для визначення переміщень статично невизначних систем необхідно спочатку побудувати епюри М від дії зовнішнього навантаження і від дії одиничної узагальненої сили, прикладеної у напрямі шуканого переміщення. І потім перемножуючи епюри за правилом Верещагіна, визначають шукане переміщення. При цьому вантажну епюру будують для заданої статично невизначної системи (вирішуючи її будь-ким з відомих методів: метод сил, переміщень і т.д.), а одиничну епюру будують для основної системи методу сил, що значно спрощує процес визначення необхідних переміщень. Допустимість таких спрощень доведемо на прикладі:

Для заданої рами епюра М_рез показана на мал. б. Якщо в опорі В відкинути два опорні зв'язки і у напрямі відкинутих зв'язків прикласти опорні реакції У_В і Н_в (див. мал. в), то епюри моментів і деформації систем, показаних на мал. а і в будуть однакові, а, отже, для визначення Δ_с^гор одиничну епюру можна будувати як для заданої (мал. а) так і для основної (мал. в) системи методу сил, тобто:

 

Питання для самоперевірки

 

 

1. Напишіть формулу для визначення ступеня статичної невизначеності конструкції.

2. Чим основновна система відрізняється від заданої системи в методі сил?

3. Як правильно вибрати основновну систему?

4. Від яких зусиль будуються  одиничні та вантажні епюри в методі сил?

5. Поясніть суть канонічних рівнянь методу сил та суть кожного з доданків у цих рівняннях.

6. Як перевірити правильність розв’язку задачі за методом сил?

7. Як утворюються групові невідомі в методі сил та в чому полягає перевага групування невідомих при розрахунку симетричних рам?

8. Як визначають поперечні сили в рамі  по епюрі згинальних моментів?

9. Як визначають поздовжні сили в рамі по епюрі поперечних сил?

10.          Як визначити опорні реакції в статично невизначеній системі?

11.          В чому полягає суть перевірки розрахованої методом сил статично невизначеної системи в цілому?

12.          Як визначити кут повороту в статично невизначній рамі.