Практичне заняття №8

Тема: Обробка результатів сумісного вимірювання

Мета: Освоїти методику обробки результатів сумісного вимірювання

 

Теоретичні відомості

У сукупних і сумісних вимірюваннях величини хі, що не піддаються безпосередньому спостереженню, визначаються за результатами вимірювань інших величин yj, які є функціями:

                                        (1)

де і – порядковий номер невідомих величин хі, і=1; 2; ... ; n; j – порядковий номер прямих вимірювань інших величин yj, j=1; 2; … ; m.

Для випадку, коли функції  лінійні:

                                      (2)

Компактніше дана система матиме вигляд:

                                             (3)

індекси у коефіцієнтів а вказуються в послідовності “рядок – стовпчик”.

Ці рівняння замість точних значень Yj містять результати їх вимірювань  із випадковими похибками . За m=n таку систему рівнянь можна розв’язати звичайними алгебраїчними прийомами, але точність визначення величини Хі одноразовими прямими вимірюваннями Yi буде невеликою. Щоб отримати вірогідніші результати обчислення Хі, слід під час прямого вимірювання кожного значення Yi виконати кілька спостережень, але тоді за  і наявності похибок  система стає алгебраїчно нерозв’язуваною.

Функція  має вигляд

.

Визначити опір R0 котушки за температури 0 0C, значення температурного коефіцієнта опору α та матеріалу дроту, яким намотано котушку.

Обробка результатів здійснюється в певній послідовності. Спочатку перетворимо формулу для Rt:

.

Тоді цю саму формулу можна записати так:

,

де а1=1; х1=R0; a2=t; х2=αR0; y=Rt.

Умовні рівняння (їхня кількість m) мають вигляд

,

тобто

;


Система нормальних рівнянь має такий вигляд:

де

;

;

;

;

.

Значення та можна знайти за допомогою визначників. Головний визначник системи:

.

Частинні визначники:

;

.

Тоді

;   .

Підставивши значення та  в умовні рівняння, можна обчислити кінцеві похибки  для кожного з них за формулою:

.

Тоді середньоквадратичні відхилення результатів розв’язання даної системи нормальних рівнянь:

;     .

Надійні межі випадкових похибок можна обчислити за формулами:

;     ;

коефіцієнт надійності tγ (для m–n+1) взяти з таблиці 2.

Перший результат вимірювання:

.

Другий результат вимірювання:

.

 

 

Таблиця 1

Значення tγ (для сукупних та сумісних вимірювань)

m–n+1

Р=0,95

Р=0,99

2

12,706

63,657

3

4,303

9,925

4

3,182

5,841

5

2,776

4,604

6

2,571

4,032

7

2,447

3,707

8

2,365

3,499

9

2,306

3,355

10

2,262

3,250

 

Приклад розв’язання задачі

Під час дослідження залежності опору котушки від температури добуто такі результати (m=7; n=2):

 t, 0C

Rt, Ом

t, 0C

Rt, Ом

20

26,06

60

30,19

30

27,09

70

31,23

40

28,12

80

32,26

50

29,17

 

 

Функція  має вигляд

.

Завдання. Визначити опір R0 котушки за температури 0 0C, значення температурного коефіцієнта опору α та матеріалу дроту, яким намотано котушку.

 

Розв’язання

Дану сукупність вимірювань можна зобразити так:

;

;

;

;

;

;

.

Звідси умовні рівняння

;

;

;

;

;

;

.

Обчислюємо коефіцієнти нормальних рівнянь:

;

Тоді нормальні рівняння матимуть такий вигляд:

;

.

Знаходимо:

Оцінюємо точність цих результатів – знаходимо залишкові похибки умовних рівнянь:

.

 

Обчислюємо:

Обчислюємо середньоквадратичні відхилення результатів:

Для m–n+1=6 значення tγ =2,571 (таблиця 6.2). Тоді надійні межі випадкових похибок для х1 та х2 становлять:

    

Тепер знаходимо

Результат сумісного вимірювання, якщо Р=0,95:

Ом;

 К–1.

Можна зробити висновок, що котушку намотано мідним дротом  (таблиця 2).

Таблиця 2

Значення α для деяких матеріалів

Матеріал

α, К–1

Алюміній

0,0038

Залізо

0,0065

Мідь

0,0043

Вольфрам

0,0048

Константан

0,0002

Ніхром

0,0001

Таблиця 3

Варіанти значень Rt, Ом

Номер варіанта

t, 0C

20

30

40

50

60

70

80

1

110,78

115,15

119,54

123,92

128,32

132,71

137,09

2

84,76

89,61

94,51

99,37

104,25

109,11

114,00

3

62,03

62,04

62,05

62,06

62,07

62,08

62,09

4

129,14

133,66

138,21

142,81

147,35

151,93

156,48

5

81,46

84,67

87,91

91,11

94,36

97,57

100,80

6

94,19

94,29

94,36

94,47

94,97

94,65

94,76

7

146,34

151,52

156,65

161,84

167,02

172,15

177,32

8

115,25

121,85

128,54

135,16

141,76

148,43

155,01

9

67,31

70,00

72,65

75,35

78,00

80,62

83,32

10

102,03

102,06

102,08

102,10

102,12

102,14

102,16

11

150,60

155,90

161,30

166,70

171,90

177,20

182,60

12

72,78

75,63

78,51

81,42

84,28

87,18

90,05

13

79,12

83,64

88,21

92,74

97,30

101,84

106,42

14

161,41

167,08

172,81

178,51

184,18

189,90

195,01

15

75,72

80,05

84,41

88,76

93,12

97,49

101,82

16

102,08

106,12

110,18

114,21

118,25

122,28

126,35

17

81,16

81,24

81,32

81,41

81,48

81,57

81,65

18

135,57

140,35

145,14

149,92

154,75

159,51

164,30

19

70,04

74,08

78,13

82,16

86,17

90,22

94,23

20

87,95

91,45

94,92

98,45

101,91

105,35

108,84

 

Контрольні запитання

1.  Що являє собою сумісне вимірювання?

2. Яка послідовність оброблення результатів сумісних вимірювань?

3. Що являє собою головний визначник системи?

4. Що являє собою частинний визначник системи?

5. Як визначається результат сумісного вимірювання?

6. Як виражається похибка сумісного вимірювання?