ТЕМА 3.

ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ ФУНКЦІЇ.

 

1.     Поняття про виробничу функцію.

2.     Приклади виробничих функцій.

3.     Побудова та аналіз регресії попиту.

 

1.     Поняття про виробничу функцію.

Виробнича функція – це функція, незалежна змінна якої набуває значення обсягу ресурсу, який використовується для виробництва, а залежна змінна – значення обсягів виготовленої продукції.

Виробничі функції охоплюють моделювання залежностей між показниками виробничої діяльності, такими як обсяг випущеної продукції, собівартість одиниці продукції, капітальні витрати, фондовіддача, продуктивність праці та ін. При цьому в якості факторів можуть виступати затрати праці, засобів виробництва та ін., а в якості показника – обсяг випуску продукції, чистий дохід, ВВП та ін.

Залежно від кількості факторів, які включених в модель, розрізняють однофакторні та багатофакторні виробничі функції (ВФ).

Загальний вигляд однофакторної виробничої функції :

,                                            (3.1)

де а – вектор параметрів виробничої функції;

 – незалежна змінна (певний фактор виробництва);

 – залежна змінна.

Загальний вигляд багатофакторної виробничої функції:

,                                  (3.2)

де а – вектор параметрів виробничої функції;

 – незалежні змінні (різні фактори виробництва);

 – залежна змінна.

Виробничі функції широко застосовується для аналізу і прогнозування економічних явищ як на мікроекономічному, так і на макроекономічному рівні.

Виробничі функції можуть бути як статичними (якщо параметри і значення показника не залежать від часу), так і динамічними (якщо параметри і значення показника залежать від часу, який як самостійна величина включається у модель).

 

2.     Приклади виробничих функцій.

Розглянемо приклади найбільш поширених виробничих функцій.

1. Логістична регресія – використовується для прогнозування попиту на товари тривалого користування:

,                                   (3.3)

де  – забезпеченість товаром;

t – час;

 – насиченість ринку товаром.

Попит на товари тривалого користування має таку тенденцію до зміни: спочатку деякий час попит зростає, а потім коливається навколо сталої величини.

2. Крива Енгеля – використовується для аналізу залежності між витратами на споживання та доходом:

                                       (3.4)

де  – витрати на споживання;

 – дохід;

 , .

Критична точка  визначає рівень доходу, нижче якого товар не буде куплений. Якщо дохід збільшується, то і збільшуються витрати на споживання, але до певної межі , яка називається «межею насичення».

3. Функція Лаффера – використовується для характеристики залежності між податковою ставкою та обсягом податкових надходжень:

 ,                                  (3.5)

де  – обсяг податкових надходжень;

 – податкова ставка.

Існує оптимальний розмір податкової ставки (), якому відповідає максимальне значення обсягу податкових надходжень. При відхиленні податкової ставки від оптимального значення в сторону як збільшення, так і зменшення обсяг податкових надходжень різко зменшується.

4. Виробнича функція Кобба-Дугласа – використовується для аналізу залежності між затратами праці і затратами капіталу на обсяг виробництва продукції:

,                                     (3.6)

де    випуск валової продукції;

 – затрати праці;

 – затрати капіталу (вартість основних фондів);

 – параметри виробничої функції.

 

3.     Побудова та аналіз моделі регресії попиту.

3.1. Знаходження параметрів регресії попиту

Нехай між ціною P та величиною попиту D існує стохастична залежність у вигляді многочлена другого порядку:

,                               (3.7)

де  - невідомі параметри регресії.

Для регресії у вигляді многочлена другого степеня система нормальних рівнянь має такий вигляд:

,                               

,              (3.8)

.           

Розв’язавши систему рівнянь (3.8), отримаємо оцінки параметрів регресії попиту.

3.2. Перевірка адекватності моделі експериментальним даним

Для перевірки адекватності прийнятої економетричної моделі експериментальним даним скористаємось -критерієм Фішера, який полягає в наступному.

Розраховуємо значення критерію за формулою:

.                                (3.9)

Знаходимо табличне значення  за заданою ймовірністю  та числом ступенів вільності  і , які визначаються за формулами:

,       ,                         (3.10)

де    - кількість проведених спостережень;

- кількість факторів, які мають суттєвий вплив на показник.

Якщо виконується нерівність:

>,                                        (3.11)

то прийнята економетрична модель вважається адекватною експериментальним даним і для неї справедливі всі закономірності функціонування і розвитку, які характерні для реального економічного явища. Тобто її можна використовувати для аналізу та прогнозування індивідуальних ринків.

3.3. Вплив еластичності попиту на ринкові обороти

Нехай відома регресія попиту  на певний вид товару як функція від ціни товару : . Тоді товарообіг  у грошовому виразі дорівнює добутку реалізованого попиту на ціну товару:

.                                      (3.12)

Дослідимо зміни товарообігу в грошовому виразі залежно від зміни ціни на товар. Проведемо дослідження зміни товарообігу  залежно від значень , тобто знайдемо проміжки зростання, спадання і точку екстремуму товарообігу . Для цього знайдемо похідну від  по :

         (3.13)

де  - коефіцієнт еластичності попиту.

Отже, товарообіг  є функцією від коефіцієнта еластичності попиту . Залежно від знака  розрізняють три різних варіанти еластичності попиту:

1. Якщо похідна від товарообігу за ціною додатна >0, то при зростанні ціни Р зростає товарообіг . Оскільки з економічного змісту f(P)>0, то  буде більше нуля, якщо >0. Звідки випливає, що на проміжку, де товарообіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту >-1. З іншого боку, регресія попиту спадна і тому <0. Звідки випливає, що <0.

Таким чином, на проміжку, де товарообіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від -1до 0.

В економіці прийнято називати попит нееластичним, якщо коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від -1 до 0.

Економічна інтерпретація. Зміна ціни на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на %, де -1<<0, при цьому товарообіг у грошовому виразі зростає.

2. Якщо <0, то з підвищенням ціни на товар відбувається зниження товарообігу в грошовому виразі. Оскільки  [] < 0, а >0, то <0. Звідки випливає, що <-1.

Якщо значення_коефіцієнта еластичності попиту для даної ціни P менше –1, то попит при цій ціні еластичний.

Економічна інтерпретація. При еластичному попиті зміна ціни товару на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на %, де <-1. При цьому товарообіг у грошовому виразі зі зростанням ціни спадає.

3. Якщо =0 для деякого проміжку цін, то на цьому проміжку товарообіг залишається сталим.

Якщо в деякій точці =0, то ця точка називається критичною. Причому, якщо при переході через цю точку похідна  змінює знак з плюса на мінус, то при цій ціні товарообіг у грошовому виразі буде максимальним. Коефіцієнт еластичності в цій точці дорівнює -1.

3.4. Обґрунтування оптимальної ціни за критерієм максимізації доходу

Визначимо проміжки зростання та спадання товарообігу. Оскільки регресія попиту має вигляд многочлена другого порядку , то товарообіг для цієї регресії знаходиться за формулою:

.             (3.14)

Знайдемо похідну від товарообігу по ціні:

.                 (3.15)

З необхідної умови екстремуму =0 знайдемо критичні точки:

.         (3.16)

Наведене рівняння можна отримати також з умови:

.                   (3.17)

Знайдемо залежність коефіцієнта еластичності попиту від ціни:

(3.18)

3.5. Обґрунтування оптимальної ціни за критерієм максимізації прибутку

Нехай собівартість продукції складається із сталих затрат С та змінних затрат, пропорційних обсягу випуску продукції VD (тут V – витрати на одиницю продукції). У цьому випадку прибуток підприємства буде дорівнювати різниці між товарообігом у грошовому виразі і собівартістю продукції, тобто:

(3.19)

Знайдемо оцінку ціни, за якої прибуток буде максимальним. Якщо в деякій точці F досягає екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю.

Знайдемо критичні точки:

, (3.20)

тобто одержимо квадратне рівняння:

.    (3.21)

Розв’язавши його, отримаємо два розв’язки:

          (3.22)

де дискримінант. (3.23)

Точку екстремуму знаходимо, дослідивши регресію товарообігу. Припустимо, що це буде значення , тоді оптимальна кількість продукції, що випускається, визначається за формулою:

,                        (3.24)

а максимальний прибуток:

  (3.25)

 

3.6. Прогнозування на основі регресії попиту.

Підставивши у відповідні рівняння прогнозне значення ціни, можна визначити прогнозні значення обсягу попиту, товарообігу і прибутку.