ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3

Тема: ПОБУДОВА ТА АНАЛІЗ МОДЕЛІ МНОЖИННОЇ НЕЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ

Мета роботи: побудувати та проаналізувати модель множинної нелінійної регресії.

Зміст роботи: проведення параметризації рівняння регресії за двома припущеннями – стохастична залежність між факторами і результуючим показником має лінійний та нелінійний вигляд. Оцінка статистичної значимості побудованих регресій та їх параметрів. Вибір регресії, що краще відображає початкові статистичні дані, і здійснення прогнозу на основі обраної моделі.

Вимоги до звіту: назва, тема, мета, завдання, розрахункові формули. Результати аналітичного розв’язання задачі та комп’ютерного у вигляді таблиці MS Excel з вихідними умовами експерименту, таблиці MS Excel з результатами обчислень, висновок про отримані результати. Опис інструментів та функцій MS Excel, що використовувались при вирішенні задачі. Короткий опис технології вирішення задачі в MS Excel.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ

Приклад. Проаналізувати наступні статистичні дані:

№ спостереження				№ спостереження
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

Розв’язання

1. Розрахуємо параметри лінійного рівняння множинної регресії.

.

Порівняти вплив факторів на результат можна за допомогою середніх коефіцієнтів еластичності:

.

Розрахуємо:

; .

Тобто збільшення факторів X₁ та X₂ на 1% збільшує результат на 0,61% или 0,20% відповідно. Таким чином, підтверджується більший вплив на результат фактора , ніж фактора .

2. Розрахуємо коефіцієнти парної кореляції:

; ; .

Вони вказують на значно сильний зв'язок кожного фактору з результатом, а також високу міжфакторну залежність (фактори і явно колінеарні, так як ). При такій сильній міжфакторній залежності рекомендується один з факторів виключити з розгляду.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між результатом та відповідними факторами при елімінуванні (виключенні впливу) інших факторів, включених в рівняння регресії.

При двох факторах частинні коефіцієнти кореляції розраховуються наступним чином

;

.

Якщо порівнювати коефіцієнти парної та частинної кореляції, то можна побачити, що через високу між факторну залежність коефіцієнти парної кореляції дають завищену оцінку тісноти зв’язку. Саме через цю причину рекомендується при наявності сильної колінеарності факторів виключати з дослідження той фактор, у якого тіснота парної залежності менша, ніж тіснота міжфакторного зв’язку.

Коефіцієнт множинної кореляції

показує сильний зв'язок всього набору факторів з результатом.

3. Нескорегований коефіцієнт множинної детермінації оцінює частку варіації результату за рахунок представлених у рівнянні факторів в загальній варіації результату. Тут ця частка складає 94,7% і вказує на високу ступінь обслуговування варіації результату варіації факторів, іншими словами – на досить тісний зв'язок факторів з результатом.

Скорегований коефіцієнт множинної детермінації

визначає тісноту зв’язку з урахуванням ступенів свободи загальної та залишкової дисперсії. Він дає таку оцінку тісноту зв’язку, яка не залежить від числа факторів, і тому може порівнюватися по різним моделям з різним числом факторів. Обидва коефіцієнти вказують на досить високу (більш 94%) детермінованість результату у моделі факторами і .

Оцінку надійності рівняння регресії в цілому та показника тісноти зв’язку дає -критерій Фішера:

.

В даному випадку фактичне значення-критерію Фішера:

.

Отримали, що (при ), тобто ймовірність випадково отримати таке значення -критерію не перевищує допустимий рівень . Відповідно, отримане значення не випадкове, воно сформувалось під впливом істотних факторів , тобто підтверджується статистична значимість всього рівняння та показника тісноти зв’язку .

Загальний висновок полягає в тому, що множинна модель з факторами та з , включає неінформативний фактор . Якщо виключити фактор , то можна обмежитися рівнянням парної регресії:

, .

4. Вводиться гіпотеза, що між факторами X₁, X₂ та показником Y існує така стохастична залежність:

.

Для приведення регресії до лінійного виду пропотенціюємо регресію та зробимо заміну величин

, , .

Отримаємо наступне рівняння лінійної регресії:

.

5. Для оцінки параметрів a₀, a₁, a₂ використаємо метод найменших квадратів (МНК).

Після оцінки параметрів a₀, a₁, a₂ знаходимо розрахункові значення .

6. Адекватність прийнятої моделі експериментальним даним визначається за критерієм Фішера , де R² – коефіцієнт детермінації. Якщо F_розр > F_табл , то з надійністю p=0,95 можна вважати, що прийнята економетрична модель адекватна експериментальним даним і її можна використовувати для аналізу економічних процесів, робити висновки про розвиток економічного процесу в майбутньому.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

1. Побудувати лінійне рівняння множинної регресії Y від факторів X₁ та X₂. За допомогою t-критерію оцінити статистичну значимість коефіцієнтів лінійної моделі множинної регресії.

2. Знайти коефіцієнти парної, частинної та множинної кореляції. Проаналізувати їх. Зробити висновок про силу впливу факторів на результат і можливості мультиколінеарності факторів.

3. Знайти скорегований коефіцієнт множинної детермінації. Порівняти його з нескорегованим (загальним) коефіцієнтом детермінації. За допомогою -критерію Фішера оцінити статистичну надійність рівняння регресії і коефіцієнта детермінації. Оцінити якість рівняння регресії через середню похибку апроксимації.

4. Припустивши, що стохастична залежність між факторами X₁, X₂ та показником Y має нелінійний вигляд, привести регресію до лінійного вигляду.

5. Оцінити параметри отриманого лінійного рівняння регресії.

6. Використовуючи критерій Фішера, необхідно оцінити з надійністю p=0,95 адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним.

При виконанні завдань 1-6 використати надбудову «Аналіз даних» чи функції MS Excel ЛИНЕЙН(), КОРРЕЛ(), а також функції СТЬЮДРАСПОБР(), FРАСПРОБР() тощо.

7. Вибрати кращу з двох оцінених моделей і знайти оцінки прогнозу за нею та з надійністю p=0,95 його довірчий інтервал.

8. Побудувати поле кореляції та графік лінії регресії.

9. Зробити висновки щодо взаємозв’язку факторів та адекватності побудованого регресійного рівняння.

Початкові дані:

На основі статистичних даних показника Y і факторів X₁, X₂ (табл. 1) та враховуючи вид нелінійної функції (табл. 2), що за припущенням описує залежність між факторами і результуючим показником, виконати завдання до роботи.

Таблиця 1 – Значення факторів X₁, X₂ та показника Y (згідно варіанту)

№ варі-анту	показник	Номер року
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	X1	0,43	0,78	0,91	1,03	1,29	1,30	1,62	1,70	1,71	1,77	1,99	2,06	2,42	2,63	2,89
	X2	5,12	5,09	4,70	4,23	3,87	3,43	3,26	2,85	2,59	2,50	2,11	1,73	1,35	0,87	0,48
	Y	21,22	23,91	21,78	17,83	17,36	12,70	14,63	11,08	9,82	10,20	8,92	7,90	8,94	6,30	?
2	X1	5,12	5,36	7,15	8,73	9,96	10,66	11,79	12,08	12,17	13,67	15,12	15,96	18,47	20,08	20,84
	X2	3,02	2,89	2,86	2,76	2,61	2,41	2,36	2,32	2,15	2,14	2,09	1,86	1,82	1,73	1,67
	Y	31,39	31,68	43,69	54,43	59,50	59,16	66,65	67,91	62,26	73,34	80,70	77,80	91,17	97,43	?
3	X1	0,51	0,63	0,88	1,11	1,25	1,36	1,50	1,53	1,78	2,09	2,20	2,25	2,34	2,56	2,57
	X2	24,15	22,91	22,77	20,78	19,93	19,50	19,38	18,72	18,33	18,16	16,16	14,46	12,84	11,38	10,32
	Y	972,26	406,1	150,32	87,03	65,67	56 ,43	48,17	45,75	38,23	31,91	27,19	25,65	21,79	19,03	?
4	X1	15,78	15,26	13,43	13,07	12,13	11,52	11,35	10,22	8,62	8,00	7,65	7,60	6,09	5,45	0,51
	X2	0,49	0,81	1,14	1,30	1,55	1,65	1,73	2,11	2,31	2,50	2,77	2,80	3,08	3,29	3,50
	Y	41,11	42,82	40,16	39,65	37,51	37,45	36,38	36,96	31,18	30,73	29,59	30,87	24,49	23,61	?
5	X1	5,12	5,70	6,50	7,24	7,87	8,15	8,41	9,26	9,66	10,02	10,25	10,35	10,38	10,58	10,83
	X2	12,11	11,86	11,80	11,71	11,23	10,88	10,30	9,57	9,56	9,46	9,24	8,54	8,13	7,51	6,77
	Y	11,78	9,41	8,74	9,06	10,22	10,31	8,62	8,67	9,01	9,99	7,76	9,87	10,96	12,11	?
6	X1	1,12	1,39	1,53	1,96	2,20	2,32	2,76	2,97	3,19	3,20	3,44	3,67	4,05	4,55	4,98
	X2	13,13	15,48	15,58	17,26	17,44	19,72	21,51	23,50	24,93	26,85	29,30	29,44	31,93	33,51	34,02
	Y	49,48	54,28	54,24	58, 46	59,08	64,84	70,09	76,45	80,95	85,00	92,65	92,68	99,92	104,3	?
7	X1	50,76	58,53	97,01	126,17	143,64	152,62	189,46	198,89	231,0	243,4	261,7	264,13	269,0	284,1	298,3
	X2	52,07	57,44	73, 24	74,97	83,16	88,94	132,44	155,39	193,8	231,0	273,9	308,23	323,4	361,4	400,9
	Y	16,90	18,12	18,98	19,57	19,81	20,61	21,19	21,82	22,3	22,7	22,7	23,56	23,0	23,9	?
8	X1	52,06	73,80	73,85	84,28	98,64	103,30	105,39	108,43	114,5	148,8	181,3	206,63	236,0	274,7	293,6
	X2	25,17	27,33	26,17	27,39	27,17	27,20	28,17	30,47	29,17	30,48	30,17	31,92	31,17	33,95	32,17
	Y	66,26	73,07	70,62	73,88	74,16	74,75	75,59	80,15	79,34	82,63	81,01	86,12	84,06	90,04	?
9	X1	3,52	4,676	5,507	7,729	7,995	10,07	12,98	14,84	17,83	18,67	21,15	23,12	25,09	27,77	29,67
	X2	52,06	53,10	53,62	55,07	57,63	58,86	59,28	62,22	65,95	67,37	69,86	70,54	74,25	75,26	77,69
	Y	20,99	19,23	19,53	18,1	20,16	19,92	19,27	18,28	18,53	18,17	18,87	19,5	19,22	19,19	?
10	X1	52,06	52,63	54,1	57,66	58,47	61,71	66,06	68,23	72,11	72,44	74,77	78,6	84,53	84,6	85,02
	X2	21,06	22,85	24,73	29	31,07	35,48	35,9	39,33	41,57	43,36	46,26	49,31	53,1	53,64	56,17
	Y	5,625	5,509	5,645	58,12	5,997	6,092	6,11	6,463	6,356	6,626	6,431_	6,568	6,835	7,129	?
11	X1	0,52	5,319	10,02	14,61	20,11	20,17	25,3	27,61	30,25	32,13	37,38	41,01	44,43	47,47	52,25
	X2	2,42	7,024	11,38	14,3	15,34	17,31	21,78	24,69	29,48	32,98	35,63	40,52	41,4	44,33	46,39
	Y	2,399	0,961	0,593	0,579	0,557	0,409	0,367	0,411	0,336	0,365	0,245	0,199	0,359	0,318	?
12	X1	46,23	49,5	51,28	51,3	53,22	54,48	57,23	59,64	64,01	65,38	66,73	67,46	70,16	70,58	71,36
	X2	25,65	33,44	38,33	45,77	53,06	55,48	62,71	68,42	68,94	69,58	73,28	79,46	82,52	87,19	93,83
	Y	5,25	5,593	5,016	5,128	5,056	5,89	5,323	5,312	5,977	5,363	5,984	5,692	5,402	5,28	?
13	X1	3,05	3,78	4,119	4,629	6,053	7,234	7,535	9,434	9,658	10,05	11,04	12,16	13,14	13,73	13,86
	X2	4,26	5,326	7,272	7,793	6,679	10,55	12	13,72	14,63	14,75	16,58	17,25	18,65	19,55	20,12
	Y	2,57	3,71	1,822	2,595	5,662	6,298	4,303	6,635	5,848	7,223	6,645	7,3	7,569	7,486	?
14	X1	52,07	52,74	56,49	63	67,17	73,05	77,25	83,86	87,47	89 11	95,42	101,9	104,2	109,6	112,6
	X2	35,55	40,23	41,59	43,75	46,95	50,17	51,74	59,14	63,24	68.21	74,64	82,28	87,33	95,06	96,19
	Y	9,794	9,943	9,354	9,837	10,09	10,69	10,92	11,31	12,28	11 57	12,81	12,4	13,39	13,01	?
15	X1	52,07	58,76	64,73	68,06	69,3	72,78	77,07	77,32	82,93	83,91	88,4	90,29	93,39	99,93	102,3
	X2	34,45	35,22	37,25	39,59	41,01	41,55	44,26	44,41	47,84	48,06	46,83	52,83	54,57	56,89	59,91
	Y	31,4	32,38	34,27	35,48	35,81	35,66	37,7	36,34	38,83	39,17	39,93	39,77	40,6	40,56	?
16	X1	25,25	27,9	31,36	32,55	38,27	42,25	43,94	45,93	46,21	47,87	50,91	56,75	58,27	62,89	63,97
	X2	31,34	32,61	34,66	35,94	37,61	39,95	41,92	43,03	43,4	44,29	44,58	44,79	47,06	47,58	47,72
	Y	15,65	17,5	17,88	17,4	18,09	18,47	20,34	19,33	19,33	20,27	21,05	20,92	21,63	22,05	?
17	X1	2,31	5,376	6,344	8,85	8,943	9,951	11,04	12,49	14,23	1679	20,03	23,81	27,08	27,58	31,07
	X2	0,31	0,39	0,415	0,471	0,514	0,807	0,902	0,965	1,209	1,269	1,434	1,722	1,762	1,91	2,186
	Y	4,309	4,585	5,107	5,884	6,455	6,99	7,299	7,532	8,231	9,816	10,98	13,29	14,39	14,11	?

Таблиця 2 – Вид нелінійної функції, що за припущенням описує залежність між факторами і результуючим показником (згідно варіанту)

№ варіанту	Вид нелінійної функції	№ варіанту	Вид нелінійної функції
1		10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Назвіть два класи нелінійних регресій.

2. Наведіть приклади регресій, нелінійних відносно пояснюючих змінних, однак лінійні по параметрам, що оцінюються.

3. Наведіть приклади регресій, нелінійних по параметрам, що оцінюються.

4. Яким чином нелінійні відносно пояснюючих змінних рівняння регресій можуть бути зведені до лінійних?

5. Яким чином нелінійні по параметрам рівняння регресій можуть бути зведені до лінійних?

6. Яка нелінійна модель називається внутрішньо лінійною?

7. Яким чином здійснюється параметризація внутрішньо нелінійних рівнянь регресії?

8. Якими методами може проводитися специфікація нелінійних моделей?

9. Яким чином здійснюється перевірка статистичної значущості параметрів та перевірка загальної якості множинної регресії?

10. Як визначаються дисперсія залишків, загальна дисперсія і дисперсія регресії? Який між ними зв’язок?

11. Яким чином оцінюється адекватність моделі?

12. Яким чином оцінюється точність моделі?

13. За якими критеріями вибирається регресія, що найкраще з-поміж інших описує емпіричні дані?

14. Опишіть алгоритм побудови довірчих інтервалів із заданою надійністю для параметрів теоретичної множинної лінійної регресії.

15. Чим відрізняється безумовне та умовне прогнозування (передбачення та прогноз)?