Самостійна робота №10

одноканальні СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Мета: Навчитись розраховувати основні параметри одноканальних систем масового обслуговування.

Завдання для самостійного розв’язання

1. Розглядається цілодобова робота пункту СТО автомашин з одним каналом. На огляд кожної машини витрачається в середньому 0,5 години. На СТО поступає в середньому 36 машин за добу. Якщо машина прибуває, коли пункт огляду зайнятий, вона покидає його не обслуженою. Визначити граничну імовірність станів і характеристики обслуговування СМО.

2. На вхід однієї телефонної лінії поступає простий потік викликів з інтенсивністю 0,4 викликів/хв. Середня тривалість розмови 3 хв. Знайти граничну імовірність станів і характеристики обслуговування СМО. Порівняти пропускну спроможність СМО з номінальною, яка була б, якщо розмова тривала 3 хв, а виклики йшли б один за другим регулярно, без перерв.

3. Закусочна на АЗС має один прилавок. Автомобілі прибувають випадковим чином, в середньому 2 автомобілі за 5 хвилин. Для виконання замовлення в середньому досить 1.5 хвилини. Знайдіть: а) імовірність простою прилавка; б) середні характеристики; з) імовірність того, що прибуде не менше 5 автомобілів.

4. У магазині встановлено, що потік покупців є простим з інтенсивністю 1 покупець в хвилину. У цьому магазині встановлений один касовий апарат, середній час обслуговування одного клієнта складає приблизно 1,25 хв. Визначити характеристики СМО за умови, що черга обмежена контролером при вході в зал самообслуговування: m = 3 покупці.

5. На автомийці влаштовано один блок для обслуговування і є одне місце для черги. Автомобілі прибувають з інтенсивністю 5 авто/година. Середній час обслуговування однієї машини - 10 хвилин. Знайдіть всі середні характеристики СМО.

6. На технологічній лінію безперервно поступають заготовки для обробки деталей, не більше 10 одночасно. Якщо на конвеєрі з’являється 11 заготовока, то вона переходить на резервну лінію (в чергу не стає). Потік заготовок має інтенсивність 4 загот/хв., інтенсивність обслуговування – 4 загот/хв. Визначити параметри СМО: імовірність відмов, середнє число заявок, довжину черги і час перебування в черзі. Як зміниться час перебування в черзі, якщо якщо черга зменшиться до 5 заготовок.

7. Платна стоянка для легкових машин має 7 місць. Знайдіть імовірність того, що нова машина знайде вільне місце, якщо машини в середньому прибувають через 10 хв. а займають місце на стоянці в середньому 1год.

8. У одноканальну СМО поступають заявки з інтенсивністю 0,85 заявок в годину. Час обслуговування заявки в середньому рівний 1,05 години. Черга може зростати практично необмежено. Знайдіть показники ефективності роботи СМО.

9. У порту є один причал для розвантаження кораблів. Інтенсивність потоку суден дорівнює 0,4 (суден в добу). Середній час розвантаження одного судна складає 2 доби. Передбачається, що черга може бути необмеженої довжини. Знайти показники ефективності роботи причалу, а також імовірність того, що чекають розвантаження не більше ніж 2 судна.

10. В поліклініці працює один терапевт. Інтенсивність потоку пацієнтів 10 чоловік на годину. Інтенсивність обслуговування 10 чол/год. Черга може бути необмеженої довжини. Визначити показники ефективності роботи лікаря і імовірність того, що черги чекають не більше 5 чоловік.

Приклад розв’язання

Одноканальна СМО з відмовами

Є один канал, на який поступає потік заявок з інтенсивністю λ. Потік обслуговування має інтенсивність μ.

Розмічений граф станів представлений на рис.1.

Рис.1. Граф станів одноканальної СМО з відмовами

Канал може перебувати в двох станах:

S0 - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий.

Граничні імовірності станів виражають середній відносний час перебування системи в стані S0 та S1, тобто визначають відносну пропускну здатність системи та імовірність відмови:

, ,

Тоді абсолютна пропускна здатність системи:

Приклад

У перукарні працює один майстер. Час обслуговування клієнта розподілений по показниковому закону з середнім значенням 12 хв. Клієнт, що прийшов в перукарню, коли майстер зайнятий, не чекає обслуговування, а покидає перукарню. Потік клієнтів - простий з інтенсивністю 8 клієнтів/год. Знайти показники ефективності роботи даної перукарні.

Рішення.

Маємо λ=8 (кл/год.), середній час обслуговування to6.с = 12(хв)= 0,2(год). Отже, інтенсивність потоку обслуговування μ=1/ to6.с = 5.

Тоді відносна пропускна спроможність Q=0,38, тобто в середньому 38% клієнтів, що поступають, будуть обслужена. Відповідно вірогідність відмови в обслуговуванні складе Рвідм=0,62 (тобто 62 %). Абсолютна пропускна спроможність СМО А=8 0,38=3,04, тобто в середньому в годину буде обслужено 3 клієнти.

Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з чеканням, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ; інтенсивність обслуговування μ (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок в одиницю часу). Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий стає в чергу і чекає обслуговування. Передбачимо, що кількість місць в черзі m, тобто якщо заявка прийшла в мить, коли в черзі вже стоять m-заявок, вона покидає систему не обслуженою.

Розмічений граф станів представлений на рис.2.

Рис.2. Граф станів одноканальної СМО з обмеженою довжиною черги

So - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий, але черги немає;

S2 - канал обслуговування зайнятий, в черзі стоїть 1 заявка;

Sm - канал обслуговування зайнятий, в черзі всі m заявок, будь-яка наступна заявка дістає відмову.

Вірогідність станів визначається рівняннями:

Якщо , то

Якщо , то .

Тоді: , , …,

Приклад.

Автозаправна станція (АЗС) є СМО з одним каналом обслуговування (однією колонкою). Майданчик при станції допускає перебування в черзі на заправку не більше п'яти машин одночасно (m = 5). Якщо в черзі вже знаходяться п'ять машин, наступна машина в чергу не стає. Потік машин, що прибувають для заправки, має інтенсивність λ = 2 (машини в хвилину). Інтенсивність потоку обслуговування складає μ = 2.

Рішення.

, тоді - імовірність вільної СМО.

, звідси .

- відмовляють кожному 7 клієнту.

, маш/хв.

Середнє число заявок і час перебування машини в системі:

хв.

Середня довжина і час перебування в черзі:

маш. хв.

Одноканальна СМО з необмеженою довжиною черги

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з необмеженою чергою, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ і інтенсивністю обслуговування μ. Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування.

Розмічений граф станів представлений на рис. 3.

Рис. 3. Одно канальна СМО з необмеженою довжиною черги

So - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий, але черги немає;

S2 - канал обслуговування зайнятий, в черзі стоїть 1 заявка;

Sm - канал обслуговування зайнятий, в черзі всі m заявок,

…

Оскільки немає обмеження на довжину черги, то відмов немає:

, , .

Тоді:

Якщо λ>μ, то черга буде постійно збільшуватись.

Приклад.

У перукарні працює один майстер. Інтенсивність потоку клієнтів складає 4 клієнти в годину. Інтенсивність обслуговування - 5 клієнтів в годину. Передбачається, що черга може бути необмеженої довжини. Визначити показники ефективності роботи перукарні і імовірність того, що чекають своєї черги не більше трьох клієнтів.

Рішення.

Інтенсивність потоку обслужених заявок , тоді гранична імовірність того, що перукар простоює: , а імовірність того , що він зайнятий .