Самостійна робота №5

Ідентифікація закону розподілу

Мета. Навчитись ідентифікувати закон розподілу випадкових параметрів системи.

Завдання для самостійного розв’язання

Задача 1. Результати вимірювання діаметрів 200 деталей після шліфування подано в таблиці.

Частотний варіаційний ряд діаметрів деталей

і	1	2	3	4	5	6	7
xi, мм	6,69	6,7	6,71	6,72	6,73	6,74	6,75
Ni	3	12	6+N/3	11	14+N/2	30	25+N

і	8	9	10	11	12	13	14
xi, мм	6,76	6,77	6,78	6,79	6,8	6,81	6,82
Ni	27+N	31	14+N/2	8	5+N/3	6	5

Необхідно:

1) визначити основні числові характеристики ряду;

2) побудувати гістограму емпіричного розподілу;

3) побудувати теоретичну криву нормального розподілу і перевірити відповідність емпіричного і теоретичного розподілів по критерію Пірсона. (рівень значимості a = 0,05)

Задача 2. На одній з міських АТС фіксувалася кількість телефонних дзвінків в годину. Спостереження велися на протязі 100 годин, їх результати представлені в таблиці. Чи можна вважати навантаження на АТС стандартним?

Кількість викликів в годину	0	1	2	3	4	5	6	7
Кількість спостережень	6	27	26	20	10	5	5	1

Зауваження. Навантаження на АТС можна вважати стандартним, якщо випадкова величина Х – кількість телефонних дзвінків, що поступили, підкоряється закону розподілу Пуассона. Тобто отримання відповіді необхідно перевірити гіпотезу про закон розподілу випадкової величини.

Задача 3. З метою впорядкування роботи міського суспільного транспорту фіксувався час очікування в хвилинах пасажирами тролейбусів на декількох маршрутах. Було проведено 200 вимірювань, їх результати представлені в таблиці. Чи можна вважати, що перевезення по перевірених маршрутах забезпечені раціонально?

Час очікування, хв	1 – 3	3 – 5	5 – 7	7 – 9	9 – 11	11 – 13
Кількість спостережень	25	30	48	35	42	20

Зауваження. Можна вважати, що перевезення по перевірених маршрутах забезпечені раціонально, якщо випадкова величина Х – час очікування пасажирами транспорту підкоряється рівномірному закону розподілу. Тобто задача зводиться до перевірки гіпотези про закон розподілу випадкової величини.

Задача 4. Статистичними спостереженнями встановлено, що у автомобіля КрАЗ-6510 лампочки покажчиків повороту перегоріли на пробігу (тис. км):

8,3; 18,4; 27,8; 47,1; 74; 19,7; 3; 11,8; 17,4; 14; 9,7; 34,1; 4; 31,9; 42; 7,3; 85,2; 39,6; 53; 57; 21,8; 58,4; 38,1.

Потрібно:

1. Встановити закон, якому підпорядковується досліджуване явище, розрахувати і побудувати теоретичну криву частот відмови лампочок.

2. Перевірити правдоподібність зробленої гіпотези за критерієм згоди Пірсона при рівні значущості a = 0,05.

Задача 5. В сервісному центрі на протязі 100 днів фіксували щоденну кількість заявок. Результати спостережень представлені в таблиці. Чи можна вважати розподіл заявок нормальним?

Кількість заявок в день	0	2	4	6	8	10	12	14
Частота	4	5	24	19	26	21	2	1

Задача 6. Проведено сто вимірювань деякої випадкової величини. Побудувати гістограму, висунути гіпотезу про закон розподілу, перевірити на скільки вона узгоджується з експериментом.

Інтервали значень	0 - 2	2 - 4	4- 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12
Частота попадань	3	16	28	32	14	7

Задача 7. Час роботи деталі до відмови приведений статистичним рядом див. таблиця. Перевірити гіпотезу про те, що час роботи розподілений по показниковому (експоненційному) закону.

Інтервали часу	0 - 5	5 - 10	10- 15	15 - 20	20 - 25	25 - 30
Число елементів	133	45	15	4	2	1

Задача 8. Для вивчення транспортного потоку на шосе провели підрахунок числа автомобілів за 100 хв. Встановити вид закону розподілу даних.

Число автомобілів	0	1	2	3	4	5	6
Кількість хв	14	33	21	14	9	7	2

Задача 9. Проведено вимірювання відхилення деталей від стандарту. Перевірити гіпотезу про те, що відхилення розподілені по нормальному закону.

Границі відхилень, мк	-30.. -20	-20.. -10	-10..0	0..10	10..20	20..30
Число деталей	1	12	37	32	14	4

Задача 10. Для дослідження потоку заявок в системі масового обслуговування підрахували число заявок за 100 хв. Перевірити гіпотезу про те, що дані про кількість хвилин з заявками розподілені по закону Пуассона.

Число заявок за хвилину	0	1	2	3	4	5	6	7 і більше
Число хвилин	19	21	31	12	8	5	4	0

Приклад виконання завдання:

1. Згенерувати ряд випадкових чисел по заданому закону. Сортувати ряд в порядку зростання.

Інтервали

[Х_і, Х_і+1)

Середина інтервалу, Х^*_і

Частота попадання n_i

Відносна частота

ω_і=n_i /n

Густина частот

ω_і/h

2. Розбити ряд на k інтервалів, підрахувати число попадань в кожен інтервал. Побудувати гістограму розподілу частот.

3. По виду гістограми частот зробити припущення про вид закону розподілу. Провести оцінку значення математичного очікування і середньоквадратичного відхилення для цього закону розподілу:

4. Побудувати теоретичну інтегральну криву розподілу використовуючи пакет стандартних функцій MS Excel.

НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная) - функція для нормального закону розподілу;

ЭКСПРАСП(x;лямбда ;интегральная) – функція експоненційного розподілу;

ГАММАРАСП(x;альфа ;бета ;интегральная) – функція гамма розподілу;

ЛОГНОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл) – інтегральний логарифмічний ормальний рзподіл х, де lnx – нормально розподілена величина;

ПУАССОН(x;среднее;интегральная) – розподіл Пуассона.

де x — значення, для якого знаходиться теоретична імовірність появи – середина кожного інтервалу з гістограми частот;

Среднее — середнє арифметичне розподілу;

Стандартное_откл — стандартне (середньоквадратичне) відхилення;

Интегральная — логічне значення, що визначає форму функції. Якщо ИСТИНА, то результатом буде інтегральна функція розподілу, якщо ЛОЖЬ – то функція густини розподілу.

5. Розрахувати імовірність появи величини в кожному з інтервалів