Самостійна робота №1

УХВАЛЕННЯ РІШЕНь В умовах РИзику

Мета роботи: Засвоєння методів ухвалення рішень в умовах ризику.

Завдання для самостійного розв’язання

1. Дана наступна матриця виграшів:

Визначити оптимальну стратегію по критеріях Вальда, Севіджа і Гурвіца при коефіцієнті песимізму 0,8 і 0,3.

2. Дана наступна матриця виграшів:

Визначити оптимальну стратегію по критеріях Вальда, Севіджа и Гурвіца (коефіцієнт песимізму рівний 0,4).

3. Компанія вибирає, який вигляд продукції доцільно виробляти. Є чотири види продукції Аj. Визначений прибуток від виробництва кожного виду продукції залежно від станів економічного середовища Вi. Значення прибутків для різних видів продукції і станів економіки наведені в таблиці. Вибрати кращий продукт для виробництва, використовуючи критерії Вальда, Севіджа, Гурвіца при коефіцієнті песимізму 0,4.

Вид продукції	Стан економічного середовища
	В1	В2	В3
А1	40	52	45
А2	58	45	89
А3	45	36	65
А4	36	89	45

4. Мобільний оператор вибирає, який з чотирьох тарифних планів Аj запропонувати споживачам. Відомо, що фірма конкурент аналогічно планує введення нових пакетів послуг. Визначений прибуток компанії від залучення нових клієнтів по кожному з планів залежно від можливих пропозицій конкурентів Вi, тис. у.о. (див. таблиця). Вибрати кращу стратегію для фірми оператора, використовуючи критерії Вальда, Севіджа, Гурвіца при коефіцієнті песимізму 0,6.

Вид продукції	Стан економічного середовища
	В1	В2	В3	В4
А1	100	80	40	110
А2	90	90	50	100
А3	80	100	30	140
А4	70	70	80	120

5. Один з п'яти верстатів має бути вибраний для виготовлення партії виробів, розмір якої Q може набувати трьох значень: 150, 200, 350. Виробничі витрати В_i для i-го верстата задаються наступною формулою:

В_i = P_i + c_i*Q

Дані P_i і С_і наведені в табл. Здійсніть вибір верстату для кожного з наступних критеріїв Вальда, Севіджа, Гурвіца (критерій песимізму дорівнює 0,6).

Показники	Модель верстата
	1	2	3	4	5
Pi	30	80	50	160	100
ci	14	6	10	5	4

6. Фірма вибирає одну з 4 компаній – перевізників для доставки своєї продукції в магазини. Можлива відправка товару на відстань Х: 150, 200, 350 і 500 км. Витрати на перевезення складають: В_i = С_i + D_i*Х.

Дані D_i і С_і наведені в табл. Здійсніть вибір компанії по критеріях Вальда, Севіджа, Гурвіца (критерій песимізму дорівнює 0,3).

Показники	Перевізник
	1	2	3	4
Ci	30	40	80	110
Di	14	6	10	5

7. Дана наступна матриця втрат:

Визначити оптимальну стратегію по критеріях Вальда, Севіджа и Гурвіца (коефіцієнт песимізму рівний 0,4).

8. Адміністрації театру потрібно вирішити, скільки замовити програмок для вистав. Вартість замовлення 200 грн плюс 3 грн за штуку. Програмки продаються по 6 грн за штуку, і до того ж дохід від реклами складе додаткові 300 грн. З досвіду відома відвідуваність театру (див. табл.).

Відвідуваність	400	450	500	550	600
Її імовірність	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

Використовуючи критерії Вальда, Севіджа і Гурвіца, визначите, скільки програмок повинна замовити адміністрація театру. Як зміниться вибір, якщо кошти від реклами зростуть до 400 грн.

9. В залежності від якості сировини S на виготовлення продукту підприємство споживає 5, 6 або 7 одиниць сировини. Якщо для випуску продукції сировини буде недостатньо, то запаси можна поповнити, що потребує додаткових затрат 4 у.о. на одиницю сировини. Якщо запаси сировини перевищать потреби, то затрати на зберігання лишків складуть 3 у..о. на одиницю сировини. Яку стратегію (А) вибрати підприємству: створити запаси 5, 6 чи 7 одиниць сировини, якщо:

а) відомі імовірності потреби в сировині в кількостях 5, 6, 7 одиниць – 0,25; 0,35; та 0,4 відповідно.

б) імовірність потреби сировини рівноімовірна.

10. Планується випуск нової моделі телефонів, підприємство розробило 3 стратегії формування ціни Аі – висока, середня і низька ціна (з вкладанням коштів в рекламу і активне просування товару та без). Розрахований прибуток від продажу одиниці товару для кожної стратегії, в залежності від зростання цін постачальників на матеріали і деталі до телефону. Передбачаються імовірності встановлення конкретної ціни на витратні матеріали Qi. Яку стратегію (А) вибрати підприємству: рівень низьких цін, середній чи високий по критеріях Вальда, Севіджа і Гурвіца?

Стратегія	Ціна на матеріали
	Ц1	Ц2	Ц3	Ц4
А1	10	40	50	90
А2	30	80	40	30
А3	40	60	60	20
q	0,1	0,2	0,5	0,2

11. Фірма планує випустити товар, причому відомо, що фірма-конкурент планує запускати в продаж аналогічний продукт. Визначити коли випускати товар: до конкурента (А1), разом з ним(А2), після випуску продукту-конкурента (А3). Експерти підрахували прибуток фірми у випадках коли продукт-конкурент набагато кращий за наш (В1), такий же по характеристиках (В2), або гірший по якості (В3), див. табл. Для розрахунку використати критерій Гурвіца для випадків коли імовірності подій В1=0,5; В2=0,4; В3=0,1 та події є рівно імовірними.

Стратегія	Порівняння товарів
	В1	В2	В3
А1	5	5	6
А2	3	4	8
А3	2	4	7

Приклад розв’язання задач

Транспортне підприємство повинне визначити рівень своїх виробничих можливостей так, щоб задовольнити попит клієнтів на транспортні послуги на плановий період. Попит на транспортні послуги не відомий, але прогнозується, що він може прийняти одне з чотирьох значень: 10, 15, 20 або 25 тис. т. Для кожного рівня попиту існує найкращий рівень можливостей підприємства. Відхилення від цих рівнів приводять до додаткових витрат або через перевищення перевізних можливостей над попитом (через простій рухомого складу), або через неповне задоволення попиту на транспортні послуги. Можливі прогнозовані витрати на розвиток перевізних можливостей представлені в табл.1.

Таблиця 1

Варіанти перевізних можливостей транспортного підприємства	Варіанти попиту на транспортні послуги
	1	2	3	4
1	6	12	20	24
2	9	7	9	28
3	23	18	15	19
4	27	24	21	15

Побудуємо матрицю затрат на розвиток транспортних можливостей при всіх можливих значеннях попиту на транспортні послуги П і можливих стратегій розвитку підприємства А та матрицю ризиків (оскільки а_ij – затрати, то r_ij = a_jj - min a_j, де min a_j - мінімальне значення стовпця):

Для таблиці виграшів матриця ризиків складається по формулі:

r_ij = max a_j - a_jj, де max a_j – максимальне значення стовпця):

Критерій Вальда. З позицій даного критерію природа розглядається як агресивно налаштований противник. Тоді, відповідно до критерію Вальда зі всіх найневдаліших результатів вибирається кращий, для якого відповідне значення:

- W = max min aij – якщо результат aij представляє виграш, (максимінний критерій).

- W = min max aij, - якщо результат aij представляє затрати, (мінімаксний критерій).

Це позиція крайнього песимізму, розрахована на гірший випадок.

Для нашої задачі підходить мінімаксний критерій:

Для А1: max a_ij = 24

Для А2: max a_ij = 28

Для А3: max a_ij = 23

Для А4: max a_ij = 27

W = min max a_ij = 23 Þ найкращою стратегією розвитку перевізних можливостей буде третя стратегія (А3).

Критерій мінімаксного ризику Севіджа.

Вибір стратегії аналогічний вибору стратегії за принципом Вальда з тією відмінністю, що гравець керується не матрицею виграшів А, а матрицею ризиків R:

S = min max r_ij , 1£ i £m, 1£ j £n.

Застосування критерію Севіджа дозволяє будь-якими шляхами уникнути великих ризиків при виборі стратегії, а значить, уникнути більшого програшу (втрат).

Для А1: max r_ij = 11

Для А2: max r_ij = 13

Для А3: max r_ij = 17

Для А4: max r_ij = 21

S = min max r_ij = 11 Þ найкращою стратегією розвитку перевізних можливостей буде перша стратегія (А1).

Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца.

Цей критерій при виборі рішення рекомендує керуватися деяким середнім результатом, що характеризує стан між крайнім песимізмом і нестримним оптимізмом. Критерій заснований на наступних двох припущеннях: «природа» може знаходитися в самому невигідному стані з імовірністю (1-р) і в найвигіднішому стані з імовірністю р, де р – коефіцієнт песимізму. Згідно з цим критерієм стратегія в матриці А вибирається відповідно до значенням:

H_A = max í p max a_ij + (1-p) min a_ij ý , 1£ i £m, 1£ j £n. якщо a_ij – виграш,

H_A = min í p min a_ij + (1-p) max a_ij ý , 1£ i £m, 1£ j £n. якщо a_ij – витрати.

При p = 0 критерій Гурвіца збігається з критерієм Вальда. При p = 1 приходимо до вирішального правила вигляду max max a_ij, до так званої стратегії «здорового оптимізму», критерій максімакса.

Значення р від 0 до 1 може визначатися залежно від схильності особи, що приймає рішення, до песимізму або оптимізму. За відсутності яскраво вираженої схильності р = 0,5 представляє найбільш розумний варіант. Вибір може залежати від схильності гравця до ризику.

Виберемо значення коефіцієнта песимізму р = 0,5.

Так як в прикладі a_ij - затрати, то застосовуємо критерій:

H_A = min í p min a_ij + (1-p) max a_ij ý

Таблиця 2

	Min aij	max aij	p min aij + (1-p) max aij
Для А1	6	24	15
Для А2	7	28	17,5
Для А3	15	23	19
Для А4	15	27	21

Оптимальне рішення – це вибір стратегії А1.

Контрольні запитання

1. Які задачі називаються «ігри з природою»?

2. Як формується матриця ризиків?

3. Сформулювати критерій Вальда для матриці виграшів (прибутків).

4. Сформулювати критерій Вальда для матриці втрат.

5. Сформулювати критерій мінімаксного ризику Севіджа.

6. Сформулювати критерій песимізму-оптимізму Гурвіца.

7. При якому значенні імовірності р критерій Гурвіца збігається з критерієм Вальда?