Практична робота № 10

одноканальні СМО

Мета: навчитись розраховувати основні параметри одноканальних систем масового обслуговування.

Основні теоретичні відомості

Класифікація систем масового обслуговування. По числу обслуговуючих каналів СМО поділяються на:

· Одноканальні СМО - СМО з одним каналом обслуговування.

· Багатоканальні - СМО з декількома каналами обслуговування.

За часом перебування вимог в черзі до початку обслуговування

· СМО з відмовами - це СМО, в якій заявка, що поступає в момент, коли всі канали зайняті, дістає відмову, покидає СМО і надалі в процесі обслуговування не бере участь (наприклад, телефонна мережа, в якій заявка на телефонну розмову покидає СМО у випадку, коли канал зайнятий.).

· СМО з чеканнями (чергою) - це СМО, в якій заявка, що прийшла в момент, коли всі канали зайняті стає в чергу на обслуговування. У свою чергу СМО з чеканням (чергою) підрозділяються на:

- СМО з обмеженою чергою.

- СМО з необмеженою чергою.

- СМО з обмеженим часом чекання (вимога, що поступила, заставши всі пристрої зайнятими, стає в чергу і чекає обслуговування протягом обмеженого часу. Не діждавшись обслуговування у встановлений час, вимога покидає систему).

- СМО з необмеженим часом чекання.

Розглянемо роботу і основні характеристики одноканальних СМО, тривалість обслуговування в яких - випадкова величина, підпорядкована показниковому закону розподілу. Потік обслуговування є простим пуассонівським потоком подій.

Показники ефективності таких СМО:

А - абсолютна пропускна спроможність СМО;

Q - відносна пропускна спроможність;

Рвідм - імовірність відмови;

Lсист - середнє число заявок, що знаходяться в системі;

Тсист - середній час перебування заявки в системі;

Lч - середня довжина черги;

Тч - середній час чекання в черзі.

Одноканальна СМО з відмовами

Є один канал, на який поступає потік заявок з інтенсивністю λ. Потік обслуговування має інтенсивність μ.

Розмічений граф станів представлений на рис.1.

Рис.1. Граф станів одноканальної СМО з відмовами

Канал може перебувати в двох станах:

S0 - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий.

Граничні імовірності станів виражають середній відносний час перебування системи в стані S0 та S1, тобто визначають відносну пропускну здатність системи та імовірність відмови:

, ,

Тоді абсолютна пропускна здатність системи:

.

Приклад

У перукарні працює один майстер. Час обслуговування клієнта розподілений по показниковому закону з середнім значенням 12 хв. Клієнт, що прийшов в перукарню, коли майстер зайнятий, не чекає обслуговування, а покидає перукарню. Потік клієнтів - простий з інтенсивністю 8 клієнтів/год. Знайти показники ефективності роботи даної перукарні.

Рішення.

Маємо λ=8 (кл/год.), середній час обслуговування to6.с = 12(хв)= 0,2(год). Отже, інтенсивність потоку обслуговування μ=1/ to6.с = 5.

Тоді відносна пропускна спроможність Q=0,38, тобто в середньому 38% клієнтів, що поступають, будуть обслужена. Відповідно вірогідність відмови в обслуговуванні складе Рвідм=0,62 (тобто 62 %). Абсолютна пропускна спроможність СМО А=8 0,38=3,04, тобто в середньому в годину буде обслужено 3 клієнти.

Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з чеканням, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ; інтенсивність обслуговування μ (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок в одиницю часу). Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий стає в чергу і чекає обслуговування. Передбачимо, що кількість місць в черзі m, тобто якщо заявка прийшла в мить, коли в черзі вже стоять m-заявок, вона покидає систему не обслуженою.

Розмічений граф станів представлений на рис.2.

Рис.2. Граф станів одноканальної СМО з обмеженою довжиною черги

So - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий, але черги немає;

S2 - канал обслуговування зайнятий, в черзі стоїть 1 заявка;

Sm - канал обслуговування зайнятий, в черзі всі m заявок, будь-яка наступна заявка дістає відмову.

Вірогідність станів визначається рівняннями:

Якщо , то

Якщо , то .

Тоді: , , …,

,

,

Приклад.

Автозаправна станція (АЗС) є СМО з одним каналом обслуговування (однією колонкою). Майданчик при станції допускає перебування в черзі на заправку не більше п'яти машин одночасно (m = 5). Якщо в черзі вже знаходяться п'ять машин, наступна машина в чергу не стає. Потік машин, що прибувають для заправки, має інтенсивність λ = 2 (машини в хвилину). Інтенсивність потоку обслуговування складає μ = 2.

Рішення.

, тоді - імовірність вільної СМО.

, звідси .

- відмовляють кожному 7 клієнту.

, маш/хв.

Середнє число заявок і час перебування машини в системі:

,

хв.

Середня довжина і час перебування в черзі:

маш. хв.

Одноканальна СМО з необмеженою довжиною черги

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з необмеженою чергою, в яку поступає простий потік заявок з інтенсивністю λ і інтенсивністю обслуговування μ. Заявка, що поступила в мить, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування.

Розмічений граф станів представлений на рис. 3.

Рис. 3. Одно канальна СМО з необмеженою довжиною черги

So - канал обслуговування вільний;

S1 - канал обслуговування зайнятий, але черги немає;

S2 - канал обслуговування зайнятий, в черзі стоїть 1 заявка;

Sm - канал обслуговування зайнятий, в черзі всі m заявок,

…

Оскільки немає обмеження на довжину черги, то відмов немає:

, .

Тоді:

,

,

Якщо λ>μ, то черга буде постійно збільшуватись.

Приклад.

У перукарні працює один майстер. Інтенсивність потоку клієнтів складає 4 клієнти в годину. Інтенсивність обслуговування - 5 клієнтів в годину. Передбачається, що черга може бути необмеженої довжини. Визначити показники ефективності роботи перукарні і імовірність того, що чекають своєї черги не більше трьох клієнтів.

Рішення.

Інтенсивність потоку обслужених заявок , тоді гранична імовірність того, що перукар простоює: , а імовірність того , що він зайнятий .

Імовірність того, що в черзі не більше трьох клієнтів:

, де:

, ,

чол., год.

Черга: чол., год.

Завдання для індивідуального розв’язання.

1. Розглядається цілодобова робота пункту СТО автомашин з одним каналом. На огляд кожної машини витрачається в середньому 0,5 години. На СТО поступає в середньому 36 машин за добу. Якщо машина прибуває, коли пункт огляду зайнятий, вона покидає його не обслуженою. Визначити граничну імовірність станів і характеристики обслуговування СМО.

2. На вхід однієї телефонної лінії поступає простий потік викликів з інтенсивністю 0,4 викликів/хв. Середня тривалість розмови 3 хв. Знайти граничну імовірність станів і характеристики обслуговування СМО. Порівняти пропускну спроможність СМО з номінальною, яка була б, якщо розмова тривала 3 хв, а виклики йшли б один за другим регулярно, без перерв.

3. Закусочна на АЗС має один прилавок. Автомобілі прибувають випадковим чином, в середньому 2 автомобілі за 5 хвилин. Для виконання замовлення в середньому досить 1.5 хвилини. Знайдіть: а) імовірність простою прилавка; б) середні характеристики; з) імовірність того, що прибуде не менше 5 автомобілів.

4. У магазині встановлено, що потік покупців є простим з інтенсивністю 1 покупець в хвилину. У цьому магазині встановлений один касовий апарат, середній час обслуговування одного клієнта складає приблизно 1,25 хв. Визначити характеристики СМО за умови, що черга обмежена контролером при вході в зал самообслуговування: m = 3 покупці.

5. На автомийці влаштовано один блок для обслуговування і є одне місце для черги. Автомобілі прибувають з інтенсивністю 5 авто/година. Середній час обслуговування однієї машини - 10 хвилин. Знайдіть всі середні характеристики СМО.

6. Платна стоянка для легкових машин має 7 місць. Знайдіть імовірність того, що нова машина знайде вільне місце, якщо машини в середньому прибувають через 10 хв. а займають місце на стоянці в середньому 1 год.

7. У одноканальну СМО поступають заявки з інтенсивністю 0,85 заявок в годину. Час обслуговування заявки в середньому рівний 1,05 години. Черга може зростати практично необмежено. Знайдіть показники ефективності роботи СМО.

8. У порту є один причал для розвантаження кораблів. Інтенсивність потоку суден дорівнює 0,4 (суден в добу). Середній час розвантаження одного судна складає 2 доби. Передбачається, що черга може бути необмеженої довжини. Знайти показники ефективності роботи причалу, а також імовірність того, що чекають розвантаження не більше ніж 2 судна.